人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案及反思

第九章 统计

9.2 用样本估计总体

9.2.4 总体离散程度的估计

教学设计

一、教学目标

1.   了解分布的意义和作用。
2.   理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差与标准差。
3.   能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释。

二、教学重难点

1.   教学重点

计算样本数据的方差与标准差，理解它们的意义和作用。

2.   教学难点

对所求样本数据作出数字特征的合理解释。

三、教学过程

1. 新课导入

平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子。

2. 探索新知

学习P209问题3，我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.

假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.我们用每组数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即（i=1,2,…,n）作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为.

为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即.(1)

我们称(1)式为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式

由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即.(2)

我们称（2）式为这组数据的标准差.

如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差。与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为，其中出现的频数为(i=1,2,…,k)，则总体方差为.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.

标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.

在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差。在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.

3. 课堂练习

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在一组样本数据中，众数一定是唯一的． (　　)

(2)中位数是样本数据中最中间的那个数． (　　)

(3)方差的值越小，数据的离散程度越小． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．下列说法中，不正确的是(　　)

A．数据2，4，6，8的中位数是4，6

B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4

C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据

D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是

A　[数据2、4、6、8的中位数为＝5，A错，B、C、D都是正确的．]

3．一组样本数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)

A．3　B．4   C．5  D．6

C　[x2－5x＋4＝0的两根为1，4，当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.]

4．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：

求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．

[解]　设甲、乙二人成绩的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s、s.

则x甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，

x乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，

s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，

s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.

因此，甲、乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙参加竞赛较合适．

4. 小结作业

小结：本节课学习了理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差与标准差。

作业：完成本节课课后习题。

四、板书设计

9.2.4 总体离散程度的估计

方差：

标准差：