人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案，共9页。


教学基本信息
课题
8.6.1直线与直线垂直
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书数学必修A版第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1.理解两条异面直线所成角、两条异面直线互相垂直以及00角的概念，会求两条异面直线所成的角.
2. 通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找求异面直线所成角的方法，体会转化思想,培养推理论证能力和空间想象能力.
3．通过本节课的学习、提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养.
教学重点及难点
教学重点：求两条异面直线所成的角的大小，证明两条异面直线互相垂直.
教学难点：两条异面直线所成角的构造.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
讲授新知
观察：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，那么直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，那么如何表示这种差异呢？
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
通过观察，很显然，是有些不同的，那么如何来表示这种差异呢？
在初中我们学习过，平面内两条相交直线形成四个角，其中不大于900的角称为这两条直线所成的角（或者称为两条直线的夹角）。我们用它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.
那么同学们，类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
a'
b'
O
b
a
α
下面我们给出异面直线所成的角的定义.
经过空间中任一点O，分别作直线a'//a，直线b'//b
我们就把这两条相交直线a'，b'所成的角，叫作异面直线a,b所成的角（或者叫作异面直线a,b的夹角）.
这样，我们利用定义，就将两条异面直线所成的角，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，这是研究异面直线所成的角时经常使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，同学们在学习过程中一定要认真体会！
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
现在，我们再过回头看刚才的问题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，但直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置有所不同，我们就可以利用异面直线所成的角来刻画他们的差异.下面就需要先求出这两个角的大小.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与AB所成的角的大小.
解：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴A1B1//AB.
∴∠B1A1C1为异面直线A1C1与AB所成的角.
∵∠B1A1C1=450，
∴异面直线A1C1与AB所成的角为450.
下面我们再求异面直线A1D1与AB所成的角的大小.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1D1与直线AB所成的角的大小.
解：∵ABCD-A1B1C1D1是正是方体，
∴A1B1//AB.
∴∠B1A1D1为异面直线A1D1与AB所成的角.
∵∠B1A1D1=900，
∴异面直线A1D1与AB所成的角为90.
由上可知，异面直线A1C1与AB所成的角为450，异面直线A1D1与AB所成的角为900，，这就说明直线A1C1与A1D1相对于直线AB的倾斜程度是不同的，直线A1D1相对于直线AB的倾斜程度更大一些.所以我们说异面直线所成的角可以刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.
注意：如果两条异面直线a,b所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。并记作a⊥b.
如果空间两条直线a,b互相平行，我们就规定它们所成的角为00.
空间两条直线a,b所成角α的取值范围是
两条异面直线a,b所成角α的取值范围是
提出问题，引发学生思考
讲授两条异面直线所成的角的概念，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
解决问题，并给出两条异面直线互相垂直的和00角的概念.
例题讲解
例题 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
求直线BA1与CC1所成的角的大小；
求直线BA1与AC所成的角的大小.
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
解：（1）正方体一共有12条棱，我们先来看下底面的4条棱，显然这4条棱所在的直线都与直线AA1垂直，同样道理，上底面的4条棱所在的直线也都与直线AA1垂直，而正方体的侧棱BB1，CC1，DD1所在的直线都与直线AA1平行.
因此棱AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1所在的直线与直线AA1垂直.
（2）∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴ BB1//CC1.
∴ ∠A1 BB1为直线BA1与CC1所成的角.
∵ ∠A1 BB1=450，
∴直线BA1与CC1所成的角等于450.
（3）如图，连接A1C1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴ AA1//CC1，且AA1=CC1.
∴ 四边形AA1C1C是平行四边形.
∴AC//A1C1.
∴∠BA1C1为异面直线BA1与AC所成的角.
连接BC1，易知△A1BC1是等边三角形.
∴ ∠BA1C1=600.
∴ 异面直线BA1与AC所成的角等于600.
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
O1
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证AO1⊥BD.
证法一：如图，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴ BB1//DD1，且BB1=DD1.
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形.
∴ B1D1//BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为异面直线AO1与BD所成的角.
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.
∵O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点.
∴AO1⊥B1D1.
∴AO1⊥BD.
证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
易证四边形AA1C1C是平行四边形.
∴AC//A1C1，且AC=A1C1.
又∵O，O1分别是AC和A1C1的中点，
∴AO//O1C1，且AO=O1C1.
∴四边形AOC1O1是平行四边形.
∴AO1//C1O.
∴直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
连接C1B，C1D，易证C1B=C1D.
∵O为BD的中点，
∴C1O⊥BD.
∴AO1⊥BD.
证法三：如图，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴ BB1//DD1，且BB1=DD1.
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形.
∴ B1D1//BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
连接AB1.不妨设正方体的棱长为2，
∵在Rt△ABB1中，AB=BB1=2，
∴ .
同理可证 .
∴ .
取BD的中点O，连接O1O和AO.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴易知OO1=2， .
∵△AOO1是直角三角形，
∴ .
又 ， ，
∴ .
∴∠AO1B1=900.
∴AO1⊥BD.
本题是对异面直线垂直概念的应用。首先应该根据异面直线所成角的定义，构造出这个角，这是解决问题的关键，再联系等腰三角形的性质或者勾股定理即可完成证明.刚才我们从不同的角度，用三种方法完成了这道题的证明，三种方法各有特点，通过对比，不难发现第一种方法的证明过程比较简单，也就是将直线BD平移到直线B1D1位置的这种方法比较简单，所以同学们当遇到一个问题时，应当通过观察，先思考，再下笔.另外这道例题的解答过程体现了解决立体几何问题的重要思想----即转化思想，将立体图形的问题转化为平面图形问题来解决，同学们在今后的学习中要认真体会这个思想！
例题 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1.
A
B
C
A1
B1
C1
D
证明：如图，取CC1的中点E，连接DE.
∵D为AC的中点，
∴ DE//AC1.
∴ 直线DE与BD所成的角即为直线AC1与BD所成的角.
要求∠BDE，一般把这个角放在三角形中进行求解，
∴ 连接BE.
为了求∠BDE的大小，下面需要求△BDE的三条边.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，且AB=BB1=2，
∴ AC=CC1=2.
∴ 。
∵DE是△ ACC1的中位线，
∴.
∵AB=AC=BC=2，
∴.
∵在Rt△ BCE中，BC=2，CE=1，
∴ .
∴.
∴ BD⊥DE.
∴ BD⊥AC1.
反思与感悟：通过以上这些例题的解答，我们可以看到，在求异面直线a,b所成的角时，虽然与点O选取的位置无关，但是为了方便，这个任一点O常取在两条异面直线中的一条上，也就是平移其中的一条直线即可，例如取在直线b上，然后经过点O作直线a'//a，那么a'与b所成的角就是异面直线a,b所成的角。在解题时，同学们要通过观察，先思考，后落笔。在求角的大小时，我们可以利用一些特殊三角形的特点直接求出角的大小，也可以利用勾股定理证明是直角.
巩固异面直线所成角的概念，让学生认识到，在空间中垂直于同一条直线的两条直线未必平行，求异面直线所成角的关键是构造出异面直线所成的角.
本题是对异面直线垂直概念的应用.用三种方法完成了这道题的证明，发散学生思维，再次渗透将立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
本题是对异面直线垂直概念的应用，渗透用勾股定理证明垂直问题的方法.
总结
我们来总结一下本节课所学的内容：
本节课是对异面直线的进一步研究，我们学习了两条异面直线所成的角的概念，两条异面直线互相垂直的概念．知道了两条异面直线所成的角是用来刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线倾斜程度的量.
我们要注意：空间两条直线a，b所成角α的取值范围是的闭区间.
空间两条异面直线直线a，b所成角α的取值范围是左开右闭区间.
通过例题的解答，我们知道了，求两条异面直线所成角的关键是构造出这个角.
在本节课学习过程中，我们注重了直观想象和逻辑推理核心素养的提升.
回顾本节课知识与技能、思想与方法.
布置作业
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的各条棱所在直线中，
(1) 与直线AB垂直的直线有_____条；
(2) 与直线AB异面且垂直的直线有_____条；
(3) 与直线AB和A1D1都垂直的直线有_____条；
(4) 与直线AB和A1D1都垂直且相交的直线是_____.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，，求：
(1) 直线BC与A1C1所成的角的大小；
(2) 直线AA1与BC1所成的角的大小.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
课后作业，加深对知识的理解和掌握..