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高中第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行教案设计
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这是一份高中第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行教案设计，共10页。
教学基本信息
课题
8.5空间直线、平面平行习题课
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书数学必修A版第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1.巩固线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，知道线线、线面、面面之间的内在联系，并用这些联系对问题进行有效的转化.
2. 通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找证明平行问题的方法，体会转化思想,培养推理论证能力和空间想象能力，提升逻辑推理和直观想象素养.
3．通过学生自主提出问题、独立思考和合作交流，培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力，发展学生自主学习与合作交流的能力.
教学重点及难点
教学重点：梳理空间中平行关系的内在联系并会运用它证明平行关系，总结归纳证明平行问题的常用方法.
教学难点：空间中平行关系的转化，即平行线及平行平面的构造.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习定义和定理
1.定义
首先我们看三种平行的定义
两条直线平行的定义：在同一平面内，两条不相交的直线定义为平行直线.
直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行.
两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行.
接下来我们看一下三种平行关系的转化.
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦
线线平行
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
面面平行
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
线面平行
复习必备知识，为平行关系转化做准备
例题讲解
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD1、BD的中点，求证：EF//平面CD1.
分析：要证线面平行我们可以从两个方向来考虑：
线线平行
线面平行
面面平行
解法一：连接AC，
∵底面ABCD为正方形，点F是BD的中点，
∴ AC与BD交于点F，且点F是AC中点，
连接C D1，则有EF//CD1.
∵ EF在平面CD1外，CD1⊂平面CD1，
∴ EF//平面CD1.
解法二：取DD1的中点M，CD的中点N，连接EM，MN，FN，
∵ EM是ΔADD1的中位线，
∴ EM//AD，且EM=AD.
同理FN//BC，且FN=BC，
∴ EM//FN，且EM=FN，
∴四边形EFNM为平行四边形.
∴ EF//MN.
∵ MN⊂平面CD1，EF在平面CD1外，
∴ EF//平面CD1.
解法三：取棱AD的中点P，连接EP，FP.
∵E为AD1中点,∴ EP是ΔADD1的中位线，
∴ EP//DD1，同理FP//AB.
又∵ AB//CD， ∴ FP//CD.
∵ EP在平面CD1外，DD1 ⊂平面CD1内，
∴EP//平面CD1，同理FP//平面CD1，
∵ EP与FP交于点P，且均在平面PEF内，
∴平面PEF//平面CD1，
∵ EF⊂平面EFP， ∴ EF//平面CD1.
总结：第一种和第二种方法，利用了线面平行的判定定理及逆向思考的方法，过EF作与平面CD1相交的平面，我们分别作了三角形和平行四边形，用两种方法得到了交线.第三种方法是利用面面平行得出线面平行，因此需要构造一个与平面 CD1平行的平面.本题利用了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及面面平行的定义，在证明过程中多次进行了平行关系的转化.
例2.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
有水的部分始终呈棱柱形；
没有水的部分始终呈棱柱形；
水面EFGH所在四边形的面积为定值；
棱A1D1始终与水面所在平面平行；
当容器倾斜如图（3）所示时，BE×BF是定值.
其中所有正确命题的序号是_________________，为什么？
D
G
H
F
E
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
D
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
A
D
C1
D1
B1
A1
（2）
C
B
（3）
解析：我们先看命题①和②，如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
有两个平面平行吗？其余的面都是四边形吗？相邻四边形的公共边互相平行吗？
显然有水的部分左右两个面平行，其它面都是四边形.由于棱BC在地面上，可得BC与水面所在平面平行，因此BC//FG. 因为前后两面平行，且与水面分别交于FG,EH，所以FG//EH，所以AD//EH. 因此有水部分呈棱柱形.易知没水部分也是棱柱.
在图（3）中，由线面平行的性质定理可得，BC//FG，BC//EH，因此FG//EH，所以有水部分始终呈棱柱形.没有水部分容易判断出也是呈棱柱形. 因此命题① 、 ②正确.
因为长方体的左右两个侧面平行，所以两个侧面与水面的交线平行，因此四边形EFGH为平行四边形.因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，所以FG⊥EF，因此四边形EFGH为矩形.故水面EFGH的面积随GH的变化而变化. 因此命题③错误.
因为BC//FG，根据基本事实四可得FG//A1D1，又因为A1D1不在平面EFGH内， FG在平面EFGH内，所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题 = 4 \* GB3 ④正确；
前面已得“有水部分的几何体为直棱柱”，由于水的体积没有发生变化，该直棱柱的高BC是定值，因此底面BEF的面积是定值. 所以命题⑤正确.
综上所述，正确的命题有①②④⑤
其实，我们可以将上述问题归结为：过平面BB1C1C内平行于BC的一条线段FG作截面，研究截得的几何体的性质问题.
变式:如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地面，且水面均与四条侧棱相交.
(1)有水部分的几何体还棱柱吗？
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？
解析：在第一问中，该问题相当于过棱DD1上一点H作与底面不平行的截面，截面与四条侧棱都相交.由于棱DA和DC与截面均不平行，所以DA与EH，DC与GH，AB与EF，BC与FG均不平行，因此不满足棱柱的定义，所以有水部分的几何体不是棱柱.
在第二问中，因为容器前后两面平行，所以FG//HE；又因为容器左右两面平行，所以EF//GH，所以四边形EFGH是平行四边形，但不是矩形了.
总结：本题是一道利用线面、面面平行的判定和性质解决的实际问题，我们用到了棱柱的定义，还有基本事实4、线面平行的判定定理和性质定理，以及面面平行的性质定理.在解题过程中，我们不断进行平行关系的转化，大家要掌握好转化的方法.
例3 探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我们考虑三个几何元素的平行关系.命题：“如果有两组几何元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命题正确，请证明．
解析：我们一共能生成几个命题？三条直线（一个）；两条直线和一个平面（两个）；一条直线和两个平面（两个）；三个平面（一个）.
命题1：如果两条直线均与第三条直线平行，那么着两条直线也平行.
由基本事实4可知该命题正确.
命题2. 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面.
已知：.求证：.
证明：过直线a作平面β交平面α于直线a’，
∵a//α，∴a//a’.
∵a//b， ∴ b//a’.
又∵，∴b//α.
总结：此题通过线面平行得出线线平行，再由基本事实4得出另一组线线平行，最后得到线面平行.方法是通过“由已知想可知，由求证想需知”，进而实现线线平行与线面平行关
系的转化.
命题3.如果两条直线同时与一个平面平行，那么这两条直线平行.
这两条直线的位置关系有三种可能.例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， A1B1 与B1C1相交，A1D1 与B1C1平行，EF与B1C1异面.
因此该命题不正确.
命题4. 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行.
已知：α//β，l//α，lβ.求证：l//β.
证明：过直线l作平面β分别交平面α、平面β于直线l′、 l′′，∵l//α，∴l//l′.
∵ α//β，∴ l′//l′′，∴ l//l′′.
又∵aβ，a′′⊂β, ∴a//β.
总结：此题根据线面平行和面面平行的性质定理,得出两组线线平行,再由基本事实4和线面平行判定定理得出结论. 证明中用到线线、线面、面面平行关系转化,并根据“由已知想可知,由求证想需知”寻求解题思路.
命题5.如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个平面平行.
如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个平面可能平行还可能相交，因此该命题不正确.
命题6：如果两个平面均与第三个平面平行，那么这两个平面平行.
已知：α//γ，β//γ.求证：α//β.
证明：∵α//γ，β//γ，过γ内的一条直线a作平面σ ，分别与α和β交于直线a′，a′′，
则有a//a′， a//a′′，∴a′//a′′.
∵， ∴a′//β.
过平面γ内的与直线a相交的直线 b作平面τ，分别与α和β交于直线b′ ，b′′，同理可得出b′//β.
因为直线a与b相交，所以直线a′与b′相交.
因为直线a’与b′均在平面α内，所以a//α.
总结：此题要证面面平行，我们用到了面面平行的判定定理以及线面平行的判定定理.已知面面平行，我们通过面面平行的性质定理可以得出线线平行，进而得到解题思路.总之，运用“由已知想可知，由求证想需知”的方法能更好地进行平行关系的转化.
巩固定义和定理、多角度分析问题，探究平行关系转化方法
巩固线面平行的判断定理
巩固线面平行的判断定理
巩固面面平行定义和判定定理
总结知识和方法，提升学生分析和解决问题的能力
提高学生应用知识解决实际问题的能力；学以致用，让学生体会数学的应用价值.
巩固线面平行、面面平行的判定定理和性质定理
让学生利用棱柱的定义几何体是否是棱柱，定义既是判定也是性质.
巩固线面平行的性质定理和面面平行的性质定理.
将问题转化为用平面去截几何体的问题.
改变条件，再进行探究，提升学生独立思考和主动探究问题能力.
总结概括知识和方法
由学生自己生成命题并判断命题的真假，对于真命题进行证明.让学生经历“直观感知，操作确认，思辨证明”的过程，提升学生自主探究能力以及直观想象和逻辑推理素养.
通过命题2的探究，巩固线面平行判定定理和性质定理
让学生清楚要说明命题不正确，举出反例即可，长方体是重要模型.
通过本题的探究，巩固线面平行的性质定理和判定定理以及面面面平行的性质定理.
长方体是重要的几何模型，要会借助长方体判断点、线、面的位置关系.
通过本题的探究，巩固面面平行的性质定理和判定定理以及线面平行的判定定理.
练习
练习：a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α.求证α//β.
证明：过直线b.作平面γ，交平面α于直线b′，
∵b//α，∴b//b′
∵b⊂β， b′β，∴b′//β.
∵a，b是异面直线，
∴b′与a相交.
∵a⊂α，a//β，
∴α//β.
总结：该题运用了线面平行的性质定理和判定定理以及面面平行的判定定理，大家要结合已知和求证，用好“由已知想可知，由求证想需知”的方法，顺利实现平行关系的转化.
加深体会证明平行关系的一般方法和思路
总结
本节课我们研究了空间中平行关系的证明，大家思考：
（1）在平行关系证明过程中运用了哪些知识？
（2）在平行关系证明过程中怎样寻求解题思路？
（3）在本节课中，通过平行关系的证明思路的寻求和严谨证明，有助于提升大家哪些能力？
我们在证明平行位置关系时，需要利用线线、线面、面面平行关系的定义、判定和性质定理，以及基本事实4和初中的平面几何知识，熟练掌握这些定理是证明平行关系的基础.为了使平行关系转化过程方向明确，思路清晰，我们要抓住已知条件和要证的结论，“由已知想可知，由求证想需知”的方法，捋清解题思路，就可以轻松解决平行关系证明问题.通过本节课的学习有助于提升大家的逻辑推理能力和直观想象能力.
回顾本节课知识与技能、思想与方法
布置作业
已知：α∩β=l，a//α，a//β，求证：a//l.
证明：过直线a作平面γ交平面α于直线m.
因为a//α，所以a//m，
同理直线a平行于过直线a的平面δ与平面β的交线n，
即a//n，所以m//n.
因为mβ，n⊂β，所以m//β.
又因为m⊂α，α∩β= l，所以m//l.
所以a//l.
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
教学基本信息
课题
8.5空间直线、平面平行习题课
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书数学必修A版第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1.巩固线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，知道线线、线面、面面之间的内在联系，并用这些联系对问题进行有效的转化.
2. 通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找证明平行问题的方法，体会转化思想,培养推理论证能力和空间想象能力，提升逻辑推理和直观想象素养.
3．通过学生自主提出问题、独立思考和合作交流，培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力，发展学生自主学习与合作交流的能力.
教学重点及难点
教学重点：梳理空间中平行关系的内在联系并会运用它证明平行关系，总结归纳证明平行问题的常用方法.
教学难点：空间中平行关系的转化，即平行线及平行平面的构造.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习定义和定理
1.定义
首先我们看三种平行的定义
两条直线平行的定义：在同一平面内，两条不相交的直线定义为平行直线.
直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行.
两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行.
接下来我们看一下三种平行关系的转化.
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦
线线平行
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
面面平行
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
线面平行
复习必备知识，为平行关系转化做准备
例题讲解
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD1、BD的中点，求证：EF//平面CD1.
分析：要证线面平行我们可以从两个方向来考虑：
线线平行
线面平行
面面平行
解法一：连接AC，
∵底面ABCD为正方形，点F是BD的中点，
∴ AC与BD交于点F，且点F是AC中点，
连接C D1，则有EF//CD1.
∵ EF在平面CD1外，CD1⊂平面CD1，
∴ EF//平面CD1.
解法二：取DD1的中点M，CD的中点N，连接EM，MN，FN，
∵ EM是ΔADD1的中位线，
∴ EM//AD，且EM=AD.
同理FN//BC，且FN=BC，
∴ EM//FN，且EM=FN，
∴四边形EFNM为平行四边形.
∴ EF//MN.
∵ MN⊂平面CD1，EF在平面CD1外，
∴ EF//平面CD1.
解法三：取棱AD的中点P，连接EP，FP.
∵E为AD1中点,∴ EP是ΔADD1的中位线，
∴ EP//DD1，同理FP//AB.
又∵ AB//CD， ∴ FP//CD.
∵ EP在平面CD1外，DD1 ⊂平面CD1内，
∴EP//平面CD1，同理FP//平面CD1，
∵ EP与FP交于点P，且均在平面PEF内，
∴平面PEF//平面CD1，
∵ EF⊂平面EFP， ∴ EF//平面CD1.
总结：第一种和第二种方法，利用了线面平行的判定定理及逆向思考的方法，过EF作与平面CD1相交的平面，我们分别作了三角形和平行四边形，用两种方法得到了交线.第三种方法是利用面面平行得出线面平行，因此需要构造一个与平面 CD1平行的平面.本题利用了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及面面平行的定义，在证明过程中多次进行了平行关系的转化.
例2.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
有水的部分始终呈棱柱形；
没有水的部分始终呈棱柱形；
水面EFGH所在四边形的面积为定值；
棱A1D1始终与水面所在平面平行；
当容器倾斜如图（3）所示时，BE×BF是定值.
其中所有正确命题的序号是_________________，为什么？
D
G
H
F
E
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
D
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
A
D
C1
D1
B1
A1
（2）
C
B
（3）
解析：我们先看命题①和②，如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
有两个平面平行吗？其余的面都是四边形吗？相邻四边形的公共边互相平行吗？
显然有水的部分左右两个面平行，其它面都是四边形.由于棱BC在地面上，可得BC与水面所在平面平行，因此BC//FG. 因为前后两面平行，且与水面分别交于FG,EH，所以FG//EH，所以AD//EH. 因此有水部分呈棱柱形.易知没水部分也是棱柱.
在图（3）中，由线面平行的性质定理可得，BC//FG，BC//EH，因此FG//EH，所以有水部分始终呈棱柱形.没有水部分容易判断出也是呈棱柱形. 因此命题① 、 ②正确.
因为长方体的左右两个侧面平行，所以两个侧面与水面的交线平行，因此四边形EFGH为平行四边形.因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，所以FG⊥EF，因此四边形EFGH为矩形.故水面EFGH的面积随GH的变化而变化. 因此命题③错误.
因为BC//FG，根据基本事实四可得FG//A1D1，又因为A1D1不在平面EFGH内， FG在平面EFGH内，所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题 = 4 \* GB3 ④正确；
前面已得“有水部分的几何体为直棱柱”，由于水的体积没有发生变化，该直棱柱的高BC是定值，因此底面BEF的面积是定值. 所以命题⑤正确.
综上所述，正确的命题有①②④⑤
其实，我们可以将上述问题归结为：过平面BB1C1C内平行于BC的一条线段FG作截面，研究截得的几何体的性质问题.
变式:如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地面，且水面均与四条侧棱相交.
(1)有水部分的几何体还棱柱吗？
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？
解析：在第一问中，该问题相当于过棱DD1上一点H作与底面不平行的截面，截面与四条侧棱都相交.由于棱DA和DC与截面均不平行，所以DA与EH，DC与GH，AB与EF，BC与FG均不平行，因此不满足棱柱的定义，所以有水部分的几何体不是棱柱.
在第二问中，因为容器前后两面平行，所以FG//HE；又因为容器左右两面平行，所以EF//GH，所以四边形EFGH是平行四边形，但不是矩形了.
总结：本题是一道利用线面、面面平行的判定和性质解决的实际问题，我们用到了棱柱的定义，还有基本事实4、线面平行的判定定理和性质定理，以及面面平行的性质定理.在解题过程中，我们不断进行平行关系的转化，大家要掌握好转化的方法.
例3 探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我们考虑三个几何元素的平行关系.命题：“如果有两组几何元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命题正确，请证明．
解析：我们一共能生成几个命题？三条直线（一个）；两条直线和一个平面（两个）；一条直线和两个平面（两个）；三个平面（一个）.
命题1：如果两条直线均与第三条直线平行，那么着两条直线也平行.
由基本事实4可知该命题正确.
命题2. 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面.
已知：.求证：.
证明：过直线a作平面β交平面α于直线a’，
∵a//α，∴a//a’.
∵a//b， ∴ b//a’.
又∵，∴b//α.
总结：此题通过线面平行得出线线平行，再由基本事实4得出另一组线线平行，最后得到线面平行.方法是通过“由已知想可知，由求证想需知”，进而实现线线平行与线面平行关
系的转化.
命题3.如果两条直线同时与一个平面平行，那么这两条直线平行.
这两条直线的位置关系有三种可能.例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， A1B1 与B1C1相交，A1D1 与B1C1平行，EF与B1C1异面.
因此该命题不正确.
命题4. 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行.
已知：α//β，l//α，lβ.求证：l//β.
证明：过直线l作平面β分别交平面α、平面β于直线l′、 l′′，∵l//α，∴l//l′.
∵ α//β，∴ l′//l′′，∴ l//l′′.
又∵aβ，a′′⊂β, ∴a//β.
总结：此题根据线面平行和面面平行的性质定理,得出两组线线平行,再由基本事实4和线面平行判定定理得出结论. 证明中用到线线、线面、面面平行关系转化,并根据“由已知想可知,由求证想需知”寻求解题思路.
命题5.如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个平面平行.
如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个平面可能平行还可能相交，因此该命题不正确.
命题6：如果两个平面均与第三个平面平行，那么这两个平面平行.
已知：α//γ，β//γ.求证：α//β.
证明：∵α//γ，β//γ，过γ内的一条直线a作平面σ ，分别与α和β交于直线a′，a′′，
则有a//a′， a//a′′，∴a′//a′′.
∵， ∴a′//β.
过平面γ内的与直线a相交的直线 b作平面τ，分别与α和β交于直线b′ ，b′′，同理可得出b′//β.
因为直线a与b相交，所以直线a′与b′相交.
因为直线a’与b′均在平面α内，所以a//α.
总结：此题要证面面平行，我们用到了面面平行的判定定理以及线面平行的判定定理.已知面面平行，我们通过面面平行的性质定理可以得出线线平行，进而得到解题思路.总之，运用“由已知想可知，由求证想需知”的方法能更好地进行平行关系的转化.
巩固定义和定理、多角度分析问题，探究平行关系转化方法
巩固线面平行的判断定理
巩固线面平行的判断定理
巩固面面平行定义和判定定理
总结知识和方法，提升学生分析和解决问题的能力
提高学生应用知识解决实际问题的能力；学以致用，让学生体会数学的应用价值.
巩固线面平行、面面平行的判定定理和性质定理
让学生利用棱柱的定义几何体是否是棱柱，定义既是判定也是性质.
巩固线面平行的性质定理和面面平行的性质定理.
将问题转化为用平面去截几何体的问题.
改变条件，再进行探究，提升学生独立思考和主动探究问题能力.
总结概括知识和方法
由学生自己生成命题并判断命题的真假，对于真命题进行证明.让学生经历“直观感知，操作确认，思辨证明”的过程，提升学生自主探究能力以及直观想象和逻辑推理素养.
通过命题2的探究，巩固线面平行判定定理和性质定理
让学生清楚要说明命题不正确，举出反例即可，长方体是重要模型.
通过本题的探究，巩固线面平行的性质定理和判定定理以及面面面平行的性质定理.
长方体是重要的几何模型，要会借助长方体判断点、线、面的位置关系.
通过本题的探究，巩固面面平行的性质定理和判定定理以及线面平行的判定定理.
练习
练习：a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α.求证α//β.
证明：过直线b.作平面γ，交平面α于直线b′，
∵b//α，∴b//b′
∵b⊂β， b′β，∴b′//β.
∵a，b是异面直线，
∴b′与a相交.
∵a⊂α，a//β，
∴α//β.
总结：该题运用了线面平行的性质定理和判定定理以及面面平行的判定定理，大家要结合已知和求证，用好“由已知想可知，由求证想需知”的方法，顺利实现平行关系的转化.
加深体会证明平行关系的一般方法和思路
总结
本节课我们研究了空间中平行关系的证明，大家思考：
（1）在平行关系证明过程中运用了哪些知识？
（2）在平行关系证明过程中怎样寻求解题思路？
（3）在本节课中，通过平行关系的证明思路的寻求和严谨证明，有助于提升大家哪些能力？
我们在证明平行位置关系时，需要利用线线、线面、面面平行关系的定义、判定和性质定理，以及基本事实4和初中的平面几何知识，熟练掌握这些定理是证明平行关系的基础.为了使平行关系转化过程方向明确，思路清晰，我们要抓住已知条件和要证的结论，“由已知想可知，由求证想需知”的方法，捋清解题思路，就可以轻松解决平行关系证明问题.通过本节课的学习有助于提升大家的逻辑推理能力和直观想象能力.
回顾本节课知识与技能、思想与方法
布置作业
已知：α∩β=l，a//α，a//β，求证：a//l.
证明：过直线a作平面γ交平面α于直线m.
因为a//α，所以a//m，
同理直线a平行于过直线a的平面δ与平面β的交线n，
即a//n，所以m//n.
因为mβ，n⊂β，所以m//β.
又因为m⊂α，α∩β= l，所以m//l.
所以a//l.
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
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