数学8.6 空间直线、平面的垂直教案设计

这是一份数学8.6 空间直线、平面的垂直教案设计，共10页。教案主要包含了课后作业参考答案等内容，欢迎下载使用。


教学基本信息
课题
直线与平面垂直的性质及应用
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学 必修 第二册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要了解直线到平面的距离及两个平行平面间的距离等概念；掌握线面垂直的性质定理，能够应用性质定理证明直线与直线平行；通过研究空间直线与平面的垂直关系，发展直观想象、逻辑推理数学核心素养.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？在空间中呢？
在平面内是平行的. 在空间中不一定，可能是相交、平行或者异面的位置关系.
那么空间中，垂直于同一平面的两条直线平行吗？
类比平面内垂直的性质，探究空间垂直问题，引出本课主题.
新课
请同学们观察下面两个图形：
如图，在长方体中，
棱，，，所在直线都垂直于平面
ABCD，它们之间具有什么位置关系呢？ 是否平行
呢？
如图，已知直线a，b和平面α. 如果a⊥α，
b⊥α，那么直线a与b一定平行吗？
直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.
不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明.
由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”.
证明：如图，假设b与a不平行，且b∩α于点O.
显然点O不在直线a上，
所以点O与直线a可以确定一个平面，
在该平面内过点O做直线，则
直线与 是相交于点O的两条不同直线，
所以直线 与 可以确定一个平面β.
设αβ=c，则点O在直线c上.
因为a⊥α，b⊥α，
所以a⊥c，b⊥c.
又因为，所以 .
这样在平面 β 内，经过直线c上同一点O 就有两条直线，与c 垂直，这显然不可能.
所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕.
上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.
反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”. 它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.
同学们，你们还有不同的证明方法吗？
让我们看一看，从另一个角度如何证明：
方法2 如图，假设b与a不平行，且b∩α于点O，
显然点O不在直线a上，
所以点O与直线a可以确定一个平面β，
在β内过点O做直线，则，
因为b⊥α，且直线与b相交于点O， 这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾.
所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕.
通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？
直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？
图形表示和符号表示：

直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条
直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行. 它揭
示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.
巩固练习（一）：
1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（ ）
（A）l1，l2都平行于同一个平面；
（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；
（C）l1，l2都垂直于同一个平面；
（D）l1平行于l2所在的平面.
2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（ ）
（A）两个角均为锐角
（B）一个角为0°，一个角为90°
（C）两个角均为0°
（D）两个角均为90°
3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， EF⊥
平面ABCD，且EF=PD，G，H分别为PC，DC中
点. 求证：FG//平面ABCD.
请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？
三种位置关系：直线在平面内，
直线与平面相交，
直线与平面平行.
思考：在的条件下，
如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？
证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.
若b⊥α ， 因a⊥α，由线面垂直性质定理，
则有a // b，
这与已知a⊥b矛盾；
若b与α不垂直，设
取直线b上一点P，作PO⊥α ，垂足为O．连接AO，
则有PO//a ，且PO⊥AO．
又因为a⊥b ，所以PO垂直b ，显然不成立.
综上，假设不成立，所以b // α.

我们可以把结论这样描述：
已知a⊥α ，若b α ，且b⊥a ，则b//α.
这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.
如果平面与平面平行，你又能得到什么结论呢？
证明：在平面α内任取两条相交直线m，n.
∵α//β，
∴m//β，n//β. 由线面平行性质，
∴在平面β内存在两条相交直线，分别与m，n平行.
∵a⊥α，
∴a⊥m且a⊥n.
∴.
又 是平面β内两条相交直线，
∴a⊥β.
我们可以把结论这样描述：
已知a⊥α ，若β//α ，则a⊥β.
这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.
上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.
借助简单图形直观观察，初步获得“垂直于同一平面的两条直线平行”的结论.
证明直线与平面垂直性质定理，同时引入“反证法”.
不同角度证明性质定理，发展学生直观想象和推理论证能力.
三种语言呈现性质定理内容，加深对定理的理解.
通过练习掌握性质定理，并应用定理解决数学问题.
复习直线与平面位置关系，为下面“思考”做铺垫.
探究在线面垂直条件下，可得到哪些结论.
例题
例题： 如图，直线 l 平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
分析：要证明直线l 上各点到平面的距离都相等，只需证明直线l上任意两个点，到平面的距离相等，具体证明如下：
证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
，
，
于是直线AA1，BB1确定一个平面.
设直线AA1，BB1确定的平面为
，
所以四边形AA1B1B是矩形.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
随堂检测：
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1.
直线A1B1到平面ABCD的距离为多少？
直线A1A到平面BCC1B1的距离为多少？
直线CC1到平面BDD1B1的距离为多少？
若E为A1B1中点，判断直线A1C与平面BEC1是否平行，若平行，求出直线A1C到平面BEC1的距离；若不平行，请说明理由.
通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离. 同学们在解题时要有这种转化意识.
同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？
棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离.
例题 推导棱台的体积公式:
其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积.
具体过程如下：
如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.
过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点则PO垂直于棱台的上底面，从而
同学们想一想，此处的PO与棱台的上底面为什么是垂直的呢？
由直线与平面垂直的性质可知，PO垂直棱台下底面，下底面又与上底面平行，所以PO垂直棱台上底面.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，那么，
由棱锥的体积公式可得，
.
所以棱台体积为，整理化简后得
， 记作①式.
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且上、下底面的面积比，等于两个棱锥高的平方的比，由此可以整理得到 将这一结果代入①式，并整理化简，可得棱台的体积公式：
. 公式推导完毕.
应用公式算一算：
已知某棱台的体积为14，上底面面积为1，下底面面积为4，则棱台两个底面间的距离为多少？
巩固练习（二）：
已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是什么？
2、已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB // α.
应用线面垂直的性质定理或判定定理解题时，要注意前提条件是否完整；直线与直线垂直，直线与平面垂直要有意识地灵活转化；要善于挖掘平行与垂直之间的内在联系.
3、如图，已知直线 l 与平面α，β，l⊥α 且 l⊥β ，
l 与α 、β分别交于点O、，求证：α // β .
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，
N是A1C中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN//AD1.
证明直线与直线平行，常用的几种方法：
平行公理；
线面平行性质定理；
线面垂直性质定理；
面面平行性质定理；
5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α ，垂足为A，
EB⊥ β ，直线aβ ，a⊥AB. 求证：a//l.
应用线面垂直性质定理解决数学问题，引出直线到平面的距离，平行平面之间的距离.
巩固对“直线到平面的距离”的理解，并能够计算某个直线到某个平面的距离.
以棱台为实例，认识平面间的距离，借助体积公式的推导过程，发展推理论证能力.
加强线面垂直性质的理解与应用.
在具体问题中，求解两个平面间的距离.
应用线面垂直的性质定理解决数学问题.
体现线面垂直性质定理的作用，揭示“垂直”与“平行”之间存在联系.
总结
小结：
1、直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、直线到平面的距离及平行平面间的距离两个概念.
希望同学们认真体会“平行”与“垂直”之间的内
在联系，灵活应用性质定理解决数学问题.
梳理知识，点明主题
作业
作业1
如图，EA和DC都垂直于平面ABC，
且EA=2DC，F是EB的中点，
求证：DF//平面ABC.
作业2
我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？
【课后作业参考答案】
证明：取AB中点G，连接FG，CG.
∵F是EB的中点，
∴FG//AE，且FG=EA.
∵EA和DC都垂直于平面ABC，
由线面垂直性质定理
∴EA//DC，且EA=2DC.
∴FG//DC，且FG=DC.
∴四边形CDFG为平行四边形.
∴DF//CG.
又∵DF平面ABC，CG平面ABC，
∴DF//平面ABC.
应用线面垂直性质定理解决数学问题.
突出线面垂直的核心地位，培养学生用联系的眼光研究问题.