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    第8章立体几何初步8.6.2第2课时线面垂直的性质与空间距离学案含解析
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    人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第2课时导学案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第2课时导学案,共9页。

    第2课时 线面垂直的性质与空间距离

    学 习 任 务

    核 心 素 养

    1.理解直线与平面垂直的性质定理.(重点)

    2能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明.(难点)

    3理解空间距离相关定义并会求相应的距离.

    通过学习直线与平面垂直的性质定理提升直观想象逻辑推理的数学素养.

    知识点1 直线与平面垂直的性质定理

    文字语言

    垂直于同一个平面的两条直线平行

    符号语言

    ab

    图形语言

    作 用

    证明两条直线平行

    在长方体ABCD­ABCD中,棱AABB所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?

    [提示] AABB所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.

    1在正方体ABCD­A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则(  )

    AB1Bl

    BB1Bl

    CB1Bl异面但不垂直

    DB1Bl相交但不垂直

    B [因为B1B平面A1C1,又因为l平面A1C1,所以lB1B]

    知识点2 空间距离

    1过一点作垂直于已知平面的直线则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

    2一条直线与一个平面平行这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.

    3如果两个平面平行那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

    2已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中,AB2,则点C到平面BDD1B1的距离为(  )

    A1    B    C2    D2

    B [如图,连接ACDB交于点O,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,

    DBACBB1ACBB1DBB

    AC平面BDD1B1

    C到平面BDD1B1的距离为CO

    AB2AC2

    COAC]

    类型1 线面垂直性质定理的应用

    【例1 如图所示在正方体ABCD­A1B1C1D1MAB上一点NA1C的中点MN平面A1DC.求证:MNAD1

    [] 因为四边形ADD1A1为正方形,

    所以AD1A1D

    又因为CD平面ADD1A1

    所以CDAD1

    因为A1DCDD

    所以AD1平面A1DC

    又因为MN平面A1DC,所以MNAD1

    证明线线平行常用的方法

    (1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.

    (2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线.

    (3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.

    (4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.

    (5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.

    1如图已知平面α平面βlEAα垂足为AEBβ直线aβaAB.求证:al

    [证明] 因为EAααβl,即lα,所以lEA

    同理lEB.又EAEBE

    所以l平面EAB

    因为EBβaβ,所以EBa

    aABEBABB

    所以a平面EAB

    由线面垂直的性质定理,得al

    类型2 空间中的距离问题

    【例2 如图在四棱锥P­ABCDCD平面PADAD2PD4AB6PA2,∠BAD60°Q在棱AB上.

    (1)证明:PD平面ABCD

    (2)若三棱锥P­ADQ的体积为2求点B到平面PDQ的距离.

    [] (1)证明:因为AD2PD4PA2,所以PA2PD2AD2,即PDAD,因为CD平面PAD

    所以CDPD,且ADCDD

    所以PD平面ABCD

    (2)因为三棱锥P­ADQ的体积为2

    所以SADQ·PD2

    所以SADQ3

    所以AD·AQ·sin 60°3

    所以AQ3

    所以QAB中点,即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离.

    ADQ中,由余弦定理可得DQ

    所以SPDQ×PD×DQ

    VP­ADQVA­PDQ2××d,所以d

    所以点B到平面PDQ的距离为

    空间中距离的转化

    (1)利用线面、面面平行转化:利用线面距离、面面距离的定义,转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.

    (2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.

    (3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.

    2在如图所示的几何体中ABC­A1B1C1为三棱柱AA1平面ABCAA1AC四边形ABCD为平行四边形AD2CD,∠ADC60°

    (1)求证:AC1平面A1B1CD

    (2)CD2C1到平面A1B1CD的距离.

    [] (1)因为ABC­A1B1C1为三棱柱,且AA1平面ABC,又AA1AC,四边形ABCD为平行四边形,AD2CDADC60°

    所以四边形AA1C1C是正方形,

    所以AC1A1C

    CDa,则AD2a

    AC

    a,所以CD2AC2AD2

    所以ACDC,所以ACAB

    因为AA1ABACAA1A

    所以AB平面ACC1A1,又ABA1B1AC1平面ACC1A1,所以A1B1AC1

    因为A1B1A1CA1

    所以AC1平面A1B1CD

    (2)因为CD2,所以AD4ACAA12,所以AC12

    所以点C1到平面A1B1CD的距离为AC1

    类型3 直线与平面垂直关系的综合应用

    【例3 如图ABO直径CO上一点PA平面ABCAEPBAFPC求证:PBEF

    [证明] 因为PA平面ABCBC在平面ABC上,所以PABC

    AB是圆O的直径,所以ACBC

    ACPA在平面PAC中交于A

    所以BC平面PAC.又AF平面PAC

    所以BCAF

    因为AFPCBCPC在平面PBC中交于C,所以AF平面PBC.又PB平面PBC,所以AFPB

    AEPBAFAE在平面AEF中交于A,所以PB平面AEF,所以PBEF

    关于线面垂直判定、性质的应用

    (1)分析已知的垂直关系,得出能够推出的线线、线面垂直,即挖掘已知条件,以方便后续证明.

    (2)证明垂直关系时往往需要逆向思维,如要证明直线a垂直于平面α内直线b,可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β

    (3)掌握线线、线面垂直的相互转化.

    3如图在四棱锥P­ABCDPA底面ABCDADBC,∠ABC90°ABBC1PAAD2

    (1)求证:CD平面PAC

    (2)在棱PC上是否存在点H使得AH平面PCD?若存在确定点H的位置;若不存在说明理由.

    [] (1)由题意,可得DCAC,又AD2

    所以AC2DC2AD2,即ACDC

    又因为PA底面ABCD,所以PACD

    又因为PAACA,所以DC平面PAC

    (2)过点AAHPC,垂足为H

    (1)可得CDAH,又PCCDC

    所以AH平面PCD,因为在RtPAC中,PA2AC,解得PH,所以PHPC,即在棱PC上存在点H,且PHPC,使得AH平面PCD

    1.如图PABC所在平面α外一点PBαPCACABC的形状为(  )

    A锐角三角形

    B直角三角形

    C钝角三角形

    D不确定

    B [PBαACα,得PBAC

    ACPCPCPBP

    所以AC平面PBC,所以ACBC,所以ABC为直角三角形.]

    2如图ABCD­A1B1C1D1为正方形则以下结论:BD平面CB1D1AC1BDAC1平面CB1D1其中正确结论的个数是(  )

    A0    B1    C2    D3

    D [由正方体的性质得BDB1D1,所以结合线面平行的判定定理可得BD平面CB1D1,所以正确.

    由正方体的性质得ACBD,因为ACAC1在底面ABCD内的射影,所以由三垂线定理可得:AC1BD,所以正确.

    由正方体的性质得BDB1D1,由可得AC1BD,所以AC1CB1,进而结论线面垂直的判定定理得到:AC1平面CB1D1,所以正确.

    故选:D]

    3已知四边形ABCD为平行四边形PA平面ABCD当平行四边形ABCD满足条件________PCBD(填上你认为正确的一个条件即可)

    [答案] 四边形ABCD为菱形(答案不唯一)

    4在矩形ABCDAB2BCaPA平面ABCD若在BC上存在点Q满足PQDQa的最小值为________

    4 [假设在BC边上存在点Q,使得PQDQ,连接AQ,因为在矩形ABCD中,AB2BCaPA平面ABCD,所以PADQ,因为PQDQPAPQP,所以DQ平面PAQ,所以DQAQ,所以AQD90°

    由题意得ABQ∽△QCD,所以

    BQx,所以x(ax)8

    x2ax80(*)

    Δa2320时,(*)方程有解,

    所以当a4时,在BC上存在点Q满足PQDQ,故a的最小值为4]

    回顾本节知识,自我完成以下问题:

    (1)线面垂直的性质定理的内容是什么?

    (2)空间中的距离包括哪几类?它们之间是如何转化的?

    (3)如何求空间中点到平面的距离?

     

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