人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一等奖ppt课件

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1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．
2、直线与平面垂直的判定
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
若a∥b，a⊥α，则b⊥α．
（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？
解（1）平行（2）一定平行证明如下，设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.
过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1.
例5 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形，
∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等.
通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.
练习已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为多少？
解:设AC与BD交于点O.在△ABD中，因为∠A=120°，AB=2,可得AO=1.过A作面BCD的垂线，垂足为E,则AE即为所求。由题得，∠AOE=180°-∠AOC=60°。在Rt△AOE中，AE=Asin∠AOE=
棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离)
例3：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
例4：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点.求证：直线A1F∥平面ADE.
所以A1F∥平面ADE.
证明　因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
又CC1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
又AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
例5：如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交. 求证：EF∥BD1.
证明：连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理 BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
AC，B1C⊂面AB1C，
1. 已知直线a, b和平面α, 且a⊥b, a⊥α, 则b与α的位置关系是______________.
过A, B两点分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1. 则
2. 已知A, B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α.
∴四边形AA1B1B是矩形.
3. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点.求证：DF//平面ABC.
取AB的中点M，连接FM，CM.
∴DF // 平面ABC.
∴四边形DCMF是平行四边形.
由F是EB的中点可得，
4. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)
已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α // β.
设平面α, β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α, β分别相交于直线a, b. ∵ a⊥l，b⊥l，又a, b, l都在平面γ上，∴ a//b，∴a, b分别是平面α, β上任意两条交线，∴ α//β.
1、判断下列命题的正误。
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（ ）
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（ ）
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
2、给出以下命题，其中错误的是 ( )A.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 则这条直线垂直于这个平面B.垂直于同一平面的两条直线互相平行C.垂直于同一直线的两个平面互相平行D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一 条也垂直于这个平面
3、△ABC所在的平面为α, 直线l⊥AB, l⊥AC, 直线m⊥BC, m⊥AC, 则直线l, m的位置关系是　(　　) A.相交B.平行 C.异面D.不确定
4、若l, m , n表示不重合的直线, α表示平面,则下列说 法中正确的个数为(　　) ①l∥m , m∥n , l⊥α⇒n⊥α; ②l∥m , m⊥α , n⊥α⇒l∥n; ③m⊥α , n⊂α⇒m⊥n. A.1B.2C.3D.0
1．线线垂直和线面垂直的相互转化：
2．证明线面垂直的方法：
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一 个平面，那么另一条直线也垂直于这个 平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的 一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
3．两条直线平行的判定方法：
1、定义法：两直线共面且没有公共点。
3、线面平行的性质定理
4、面面平行的性质定理
5、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行