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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计，共11页。教案主要包含了异面直线所成角，线面所成角，二面角及二面角的平面角，空间中三种垂直，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面间的距离，直线与平面垂直的定义等内容，欢迎下载使用。
教学基本信息
课题
8.6空间直线、平面的垂直习题课
学科
数学
学段： 高中
年级
一年级
教材
书名：必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月
教学目标及教学重点、难点
本节课的主要内容是对空间直线、平面垂直习题的解答，通过习题的讲解，对空间直线、平面垂直知识进行系统的复习和知识建构，使学生加深对空间直线、平面垂直知识的整体认识，对解决空间中的垂直问题形成策略和方法，掌握解决问题的通性通法，培养学生自身的思考与总结能力。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前几节课我们学习了有关空间直线、平面垂直的知识，今天我们进行一节空间直线、平面的垂直习题课。
新课
首先，我们对空间直线、平面垂直的知识进行回顾，为我们此次的习题课做好充足的知识储备。
一、异面直线所成角。如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
二、线面所成角。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。此定义也告诉我们如何作出线面所成角，如图，点A为斜线l与平面α的交点，在直线l上取一个异于点A的点P，过点P作平面α的垂线，垂足为O，连接AO，∠PAO为直线l与平面α所成的角。
三、二面角及二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。此定义也给出了我们作出二面角的平面角的方法。
以上三个知识点，是空间中异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的概念及作法。为我们研究空间中直线、平面的垂直关系奠定了基础。
四、空间中三种垂直。如图所示，分别为线线垂直，线面垂直和面面垂直，三种垂直情况，要做到心中有图。
五、点到平面的距离。如图所示，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
六、直线到平面的距离。如图所示，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。
七、平行平面间的距离。如图所示，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
以上三个知识点是空间中三种距离的概念及求法。下面我们来复习空间中直线、平面垂直这部分一些重要的定义、判定定理和性质定理。
八、直线与平面垂直的定义。一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。图形语言和符号语言如下。此定义表明，可以利用线面垂直得到线线垂直。
九、直线与平面垂直的判定定理。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。图形语言与符号语言如下。此判定定理表明，通过线线垂直可以得到线面垂直。
十、直线与平面垂直的性质定理。垂直于同一个平面的两条直线平行。图形语言与符号语言如下。此性质定理表明，通过线面垂直，可以得到线线平行，揭示了平行与垂直的内在联系。
十一、平面与平面垂直的判定定理。如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过线面垂直可以得到面面垂直。
十二、平面与平面垂直的性质定理。两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过面面垂直可以得到线面垂直。
以上我们所复习的有关空间直线、平面垂直的定义、判定定理和性质定理之间有着密切的关联，我们可以将他们进行整合，作出空间垂直关系转化结构图，可以帮助我们更好地理解这些定理之间的联系，是解决空间垂直问题非常重要的手段，为我们解决空间垂直问题奠定良好的理论基础。
例题
例题 选择题
（1）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，
l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是（ ）．
（A）l1⊥ l4
（B）l1∥ l4
（C）l1，l4既不垂直也不平行
（D）l1，l4的位置关系不确定
分析：此题考查对空间中直线与直线垂直知识，特别是对异面直线垂直的理解。题目中对于已知条件空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4，（按）那么我们要具备异面直线垂直定义的知识储备，后面的三个垂直条件都是线线垂直，我们知道通过线面垂直的定义也可以得到线线垂直，即如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直。我们以l3⊥l4为例，如果l3垂直于l4所在的平面，那么l4可以是这个平面中的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。故此题选D。
当然我们也可以通过熟知的正方体来体会，在正方体ABCD-A1B1C1D1中l1⊥l2，l2⊥l3，由于l3⊥平面CC1D1D，那么l4可以是平面CC1D1D内的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。
本题小结：通过此题的分析，我们可以深切地体会到，高中所学习的立体几何知识，可以拓宽我们的视野，增加我们对几何认知的维度，提升我们空间想象能力．
（2）已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
分析：本题显然考查我们对于面面垂直与线面垂直的关系，也就是考查面面垂直的判定定理以及性质定理的理解与掌握。我们知道，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。反过来，两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。我们再结合图形语言，最终可以判断已知m⊥β可以得到α⊥β，但是仅有α⊥β，如果直线m不垂直于交线l，是不能得到m⊥β的。故本题选B.
本题小结：通过这个题目，我们可以感受到定理之间密切的联系，所以对于解决此类空间垂直问题，充分理解并掌握定理是至关重要的．
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证 A1P⊥BQ．
分析：这是一道证明线线垂直的问题。在我们刚刚复习过的知识中，对于线线垂直我们有两个办法可供选择，一个是利用异面直线所成角的定义，过B1作B1E∥A1P，证明B1E⊥BQ即可。第二种思路是利用线面垂直的定义证明线线垂直，那么我们要思考的是去证明A1P⊥BQ所在平面？还是BQ⊥A1P所在平面？都不是很方便，这两条直线所在的平面也不是很好寻找，所以相对来说，我们选择思路一比较适合。下面我们来看一下解题过程。
证明：如图，设E为BC的中点，连接B1E，易证A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）
本题小结：本题考查我们对证明空间中两直线垂直方法的理解与掌握．可供我们选择的方法有两种，一种是异面直线所成角的定义，一种是线面垂直的性质定理，我们要选择一个适合题目的方法进行解答，这也要求我们不但要熟练掌握这些定理与方法，同时还要正确且迅速的做出选择．
例题 如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证AB⊥PC．
分析：此题也是一道证明线线垂直的题目，和刚刚的例题一样。仍然是这两种办法，但是我们选择哪一个呢？我们一起来分析一下。与上一道例题不同的是，我们发现如果选择用异面直线所成角的定义方法，我们需作出直线AB，PC的平行线，才能找到这两条异面直线所成角，有些繁琐和困难。那么通过线面垂直的判定和定义能否能让这道题迎刃而解呢？
下面我们从问题出发，如果要证AB⊥PC，线线垂直，我们只需证明线面垂直，即AB⊥PC所在平面或者PC⊥AB所在平面，此时我们选择哪一个呢？如果选择AB⊥PC所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在PC所在平面内寻找两条都与AB垂直的相交直线，如果选择PC⊥AB所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在AB所在平面内寻找两条都与PC垂直的相交直线，当我们犹豫的时候可以再回头看看已知条件，能否给我们一些启示，题目中有CD⊥AB，提供给我们一条与AB垂直的直线CD，那么只需证明AB⊥平面PCD即可，现在需要在平面PCD中找一条与AB垂直的直线，已知条件中没有与AB垂直的直接条件，那么我们可以根据定理寻找题目中有没有线面垂直的条件，通过线面垂直的定义可以得到线线垂直，题目中给出PO⊥底面ABC，并且PO平面PCD，可以得到PO⊥AB，这样我们对于这道题的解题思路就捋顺清楚了。下面来看一下具体的解题过程。
证明：∵ PO⊥平面ABC，AB平面ABC，
∴ PO⊥AB．
又 CD⊥AB，PO∩CD=O，
PO平面PDC，CD平面PDC，
∴ AB⊥平面PDC．
又 PC平面PDC，
∴AB⊥PC．
本题小结：本题虽然和上一道例题都是证明线线垂直的问题，但是方法上有所不同，相比较异面直线所成角的方法，通过线线垂直与线面垂直之间的联系解决本题更为恰当，我们采取了从问题出发的方式，也就是分析法，分析法对于证明题的分析非常地有针对性．在我们以后解决问题时，也可以多多使用．在整个分析过程中，我们发现有一些条件是直接能给我们一些启发的，方便进行方法上的选择，有一些条件则需要我们进一步挖掘它所产生的结论，给我们的证明过程提供充足的条件，所以我们在解题时，一定要果断决策，多看条件，逐步分析，串联过程．
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）B1D⊥平面A1BC1；
（2）B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．
分析：例题的第一个问是一道证明线面垂直的问题。线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，在空间中垂直知识结构中有着承上启下的作用。要证B1D⊥平面A1BC1，那么我们就要寻找在平面A1BC1中与B1D垂直的两条相交直线，平面A1BC1中最明显的三条直线A1C1，A1B，BC1。由于三条线段是正方体三个面的对角线，所以我们只研究一条直线就可以。不妨我们以A1C1为研究对象，要证明B1D⊥A1C1线线垂直，一种办法是可以通过线面垂直的定义得到，即需要证明A1C1⊥B1D所在的平面，由于正方体每条棱都有两个与之垂直的平面，每个面对角线都垂直，所以A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，所以A1C1⊥平面D1DB1，得到A1C1⊥B1D。另外一种办法是我们可以利用异面直线所成角的定义。下面我们来看第一问具体的解答过程。
证明：（1）方法一：连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，
又 DD1⊥平面A1B1C1D1，
∴ DD1⊥A1C1．
∴A1C1⊥平面D1DB1．
∴ A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，
∴ B1D⊥平面A1BC1．
证明：（1）方法二：连接B1D1交A1C1于点O，取DD1中点E，连接EO，EC1，设正方体棱长为a．
∵ 点O、点E分别是线段B1D1、线段DD1的中点，
∴ OE是△ B1D D1的中位线，
∴ OE∥B1D，
∴ ∠EOC1为B1D与A1C1所成角．
∵正方体棱长为a，
∴ OE=，OC1=，EC1=．
∴ OE2+OC12=EC12．
∴ EO⊥OC1．
故 A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，
∴ B1D⊥平面A1BC1．
分析：第2问考查有关于三角形性质的内容。重心是三角形三边中线的交点，本题中△A1BC1是等边三角形，所以重心也是垂心、外心、内心，故本题我们可以考虑转化求解。题目中还有哪些信息能为我们选择提供条件呢？正方体ABCD-A1B1C1D1，每条棱都相等，那么也就是说三棱锥B1-A1BC1为正三棱锥，且由（1）知，B1D⊥平面A1BC1，易得A1H=BH=C1H，所以转化为外心求解更为合适。下面我们来看一下具体的解题过程。
证明：（2）连接A1H，BH，C1H．
∵ A1B1=BB1=C1B1，
∴ A1H=BH=C1H．
∴ 点H为△A1BC1的外心．
又 △A1BC1为正三角形，
∴ H是△A1BC1的重心．
本题小结：本题考查我们对于空间垂直定理的理解与掌握，以及利用立体几何解决平面几何问题的能力，本题在分析求解的过程中，利用分析法，从问题出发，需要不断地结合已知条件将所求问题进行转化求解，提升了我们的转化思维．第（1）问，线面垂直问题是连接线线垂直与面面垂直的重要桥梁，需要我们转化为线线垂直与面面垂直问题．第（2）问结合已知条件把重心转化为外心，使问题得到解决，所以对于很多题目，转化思维是必不可少的，我们一定要细致地分析，并进行经验总结，之后遇到类似的问题也就能迎刃而解了．
例题 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
分析：本题第（1）问依然是考查线面垂直内容。证明线面垂直，我们知道可以通过线面垂直的判定定理，也就是线线垂直来证明，或者通过面面垂直的性质来证明，那么我们现在要仔细剖析已知条件，来找出暗含的垂直条件，进而方便我们做出选择。侧面PAD是正三角形，M是PD的中点说明AM⊥PD，这个条件给我们启发，如果我们在平面PCD中再找到一条直线与AM垂直，就可以通过线线垂直来判定线面垂直了。题目中给出侧面PAD⊥底面ABCD，以及正方形ABCD，通过面面垂直的性质，我们可以得到CD⊥平面PAD，在通过线面垂直的定义，得到AM⊥CD，这样，我们在平面PCD中就得到了两条相交的直线与AM垂直，然后再利用线面垂直的判定定理来证明AM⊥平面PCD。下面我们来看一下具体的解题过程。
证明：（1）∵ 底面ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ CD⊥平面PAD．
∵ AM平面PAD，
∴ CD⊥AM．
∵ 侧面PAD是正三角形，且M是PD
的中点，
∴ AM⊥PD．
∵ CD平面PCD，
PD平面PCD，CD∩PD=D，
∴ AM⊥平面PCD．
分析：第二问是求二面角的问题，欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角。方法是在平面PBC与底面ABCD的交线BC上取一点N，分别在两个平面内过点N作BC的垂线，即可得到二面角的平面角，棱上的点N的位置是非常重要的，是求二面角的关键之处，那么本例题具体应该把点N取在棱上的什么位置呢？我们来看看已知条件能否给我们启发？
思路一我们经常会遇到一些特殊图形，比如等腰三角形、矩形、等腰梯形等等，这些对称的图形总能让我们对于在棱上取点变得容易，那么我们来看看△PBC是否是特殊的图形，由于△PAD是等边三角形，且AB⊥PA，CD⊥PD，所以RT△PAB≌RT△PDC，故PB=PC，所以△PBC是等腰三角形,故取BC中点N，取AD中点O，连接PN，ON，故∠PNO为所求二面角的平面角。第二个思路，已知侧面PAD⊥底面ABCD，那么取AD中点O，可以得到PO⊥底面ABCD，则BC⊥PO，再取BC中点N，则ON⊥BC，那么有BC⊥平面PON，所以BC⊥PN，故∠PNO为所求二面角的平面角。这样我们就找到了点N的位置，下面我们来看一下具体的解题过程。
解：（2）设AB=a，取AD中点O，BC
中点N，连接PN，NO，OP．
∵ 底面ABCD为正方形，点O，N分
别为AD，BC的中点，
∴ ON⊥AD，ON⊥BC
且ON=AB=CD=a．
∵ 侧面PAD是正三角形，
∴ PO⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ PO⊥平面ABCD．
又BC平面ABCD，ON平面ABCD，
∴ PO⊥BC，PO⊥ON．
∵ PO平面PON，ON平面PON，
PO∩ON=O，ON⊥BC，PO⊥BC，
∴ BC⊥平面PON．
又 PN平面PON，
∴ BC⊥PN．
故 ∠PNO是所求二面角的平面角．
∵ PO⊥ON，
∴△PON为直角三角形．
∵ PO=，ON=a， PO 2+ON 2=PN 2．
∴PN=．
∴ cs∠PNO=．
故 侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
本题小结：对于立体几何的综合题目，切勿“埋头苦做”，多多“抬头看题”，解题思路也许有很多种，但我们还是要看看哪些条件在我们抉择时能给我们一定的启发，帮助我们选择最适合的方法．在垂直这部分知识中，线线垂直、线面垂直、面面垂直相互关联，我们要尽可能的去挖掘题目中的垂直条件，帮助我们利用这些定理来转化问题，解决问题．
例题 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
分析：本题第（1）问是证明面面垂直，我们可以在平面PAC或者平面PBC内寻找垂直于另外一个平面的直线，通过线面垂直证明面面垂直。现在，我们就来剖析已知条件，挖掘更多的垂直条件。由PA⊥底面ABC，通过线面垂直定义可以得到线线垂直，也就是PA垂直于平面ABC内的任意一条直线，和BC⊥AC相联系，得到BC⊥PA，故BC⊥平面PAC，这样，我们就可以通过面面垂直的判定定理来证明平面PAC⊥平面PBC。下面我们来看具体的解题过程。
（1）证明：
∵ PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴ PA⊥BC．
∵ ∠ACB=90°，
∴ BC⊥AC．
又 AC∩PA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ BC平面PBC，
∴ 平面PAC⊥平面PBC．
本题的第（2）问考查线面所成角的内容。首先根据线面所成角的定义，作出线面所成角。思考要想做出线面所成角，需要具备哪些元素？需要垂线和射影，找到平面PBC的垂线，自然就会找到AM在平面PBC上的射影，寻找平面PBC的垂线，也就是要构造线面垂直，由（1）可知，平面PAC⊥平面PBC，所以我们可以通过面面垂直的性质得到线面垂直，题目中的已知条件AC=PA，所以△PAC是等腰三角形，可以取PC中点D，连接AD，DM，有AD⊥平面PBC，故DM为AM在平面PBC上的射影，那么∠AMD为所求线面所成角。下面我们来看具体的解题步骤。
（2）解：设AC=BC=PA=2a，取PC中点D，连接AD，DM．
∵ PA=AC，D为PC中点，
∴ AD⊥PC．
由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，
∴ AD⊥平面PBC．
故 ∠AMD是AM与平面PBC所成的角．
∵ PA⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴ PA⊥AC．
∵ AC=PA=2a，
∴ AD=a．
∵ 点D，M分别是PC，PB的中点，
∴ DM是△PBC的中位线．
∴ DM=BC=a.
∵ AD⊥平面PBC ，MD平面PBC，
∴ AD⊥MD．
∴△ADM为直角三角形．
∴ tan∠AMD=．
故AM与平面PBC所成角的正切值为．
本题小结：本题考查了证明面面垂直以及求解线面所成角的问题．这样的题目虽然很综合，但我们在思考中，还是要回归本源，回归到定义，定理以及性质上，再结合题目的已知条件，“顺藤摸瓜”，明确题目的解题思路，准确、快速解决问题．
总结
本节课我们学习了如何解决空间直线、平面垂直关系问题，请大家思考以下几个问题：
（1）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，运用了哪些知识？
（2）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，怎样寻找并确定解题思路？
（3）在本节课中，通过我们对空间垂直关系问题的分析，目的是要培养同学们逻辑推理以及直观想象核心素养．你能谈谈你的收获吗？
在解决空间直线、平面垂直关系问题中，我们运用了异面直线所成角、线面所成角、二面角、以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，更多的是运用这些定理之间的密切联系，结合题目中的已知条件，去寻找解题的思路和方法．切不可“盲目”，也不可“埋头苦做”，更不要轻言放弃．相信同学们通过这节课的学习，会对空间中直线、平面的垂直问题有新的体会与认识，在今后的学习过程中，通过不断地实践和总结，可以使得空间中的垂直问题迎刃而解．
作业
1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则（ ）．
（A）α∥β，l∥α
（B）α与β相交，且交线平行于l
（C）α⊥β，l⊥β
（D）α与β相交，且交线垂直于l
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
教学基本信息
课题
8.6空间直线、平面的垂直习题课
学科
数学
学段： 高中
年级
一年级
教材
书名：必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月
教学目标及教学重点、难点
本节课的主要内容是对空间直线、平面垂直习题的解答，通过习题的讲解，对空间直线、平面垂直知识进行系统的复习和知识建构，使学生加深对空间直线、平面垂直知识的整体认识，对解决空间中的垂直问题形成策略和方法，掌握解决问题的通性通法，培养学生自身的思考与总结能力。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前几节课我们学习了有关空间直线、平面垂直的知识，今天我们进行一节空间直线、平面的垂直习题课。
新课
首先，我们对空间直线、平面垂直的知识进行回顾，为我们此次的习题课做好充足的知识储备。
一、异面直线所成角。如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
二、线面所成角。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。此定义也告诉我们如何作出线面所成角，如图，点A为斜线l与平面α的交点，在直线l上取一个异于点A的点P，过点P作平面α的垂线，垂足为O，连接AO，∠PAO为直线l与平面α所成的角。
三、二面角及二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。此定义也给出了我们作出二面角的平面角的方法。
以上三个知识点，是空间中异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的概念及作法。为我们研究空间中直线、平面的垂直关系奠定了基础。
四、空间中三种垂直。如图所示，分别为线线垂直，线面垂直和面面垂直，三种垂直情况，要做到心中有图。
五、点到平面的距离。如图所示，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
六、直线到平面的距离。如图所示，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。
七、平行平面间的距离。如图所示，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
以上三个知识点是空间中三种距离的概念及求法。下面我们来复习空间中直线、平面垂直这部分一些重要的定义、判定定理和性质定理。
八、直线与平面垂直的定义。一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。图形语言和符号语言如下。此定义表明，可以利用线面垂直得到线线垂直。
九、直线与平面垂直的判定定理。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。图形语言与符号语言如下。此判定定理表明，通过线线垂直可以得到线面垂直。
十、直线与平面垂直的性质定理。垂直于同一个平面的两条直线平行。图形语言与符号语言如下。此性质定理表明，通过线面垂直，可以得到线线平行，揭示了平行与垂直的内在联系。
十一、平面与平面垂直的判定定理。如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过线面垂直可以得到面面垂直。
十二、平面与平面垂直的性质定理。两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过面面垂直可以得到线面垂直。
以上我们所复习的有关空间直线、平面垂直的定义、判定定理和性质定理之间有着密切的关联，我们可以将他们进行整合，作出空间垂直关系转化结构图，可以帮助我们更好地理解这些定理之间的联系，是解决空间垂直问题非常重要的手段，为我们解决空间垂直问题奠定良好的理论基础。
例题
例题 选择题
（1）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，
l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是（ ）．
（A）l1⊥ l4
（B）l1∥ l4
（C）l1，l4既不垂直也不平行
（D）l1，l4的位置关系不确定
分析：此题考查对空间中直线与直线垂直知识，特别是对异面直线垂直的理解。题目中对于已知条件空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4，（按）那么我们要具备异面直线垂直定义的知识储备，后面的三个垂直条件都是线线垂直，我们知道通过线面垂直的定义也可以得到线线垂直，即如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直。我们以l3⊥l4为例，如果l3垂直于l4所在的平面，那么l4可以是这个平面中的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。故此题选D。
当然我们也可以通过熟知的正方体来体会，在正方体ABCD-A1B1C1D1中l1⊥l2，l2⊥l3，由于l3⊥平面CC1D1D，那么l4可以是平面CC1D1D内的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。
本题小结：通过此题的分析，我们可以深切地体会到，高中所学习的立体几何知识，可以拓宽我们的视野，增加我们对几何认知的维度，提升我们空间想象能力．
（2）已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
分析：本题显然考查我们对于面面垂直与线面垂直的关系，也就是考查面面垂直的判定定理以及性质定理的理解与掌握。我们知道，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。反过来，两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。我们再结合图形语言，最终可以判断已知m⊥β可以得到α⊥β，但是仅有α⊥β，如果直线m不垂直于交线l，是不能得到m⊥β的。故本题选B.
本题小结：通过这个题目，我们可以感受到定理之间密切的联系，所以对于解决此类空间垂直问题，充分理解并掌握定理是至关重要的．
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证 A1P⊥BQ．
分析：这是一道证明线线垂直的问题。在我们刚刚复习过的知识中，对于线线垂直我们有两个办法可供选择，一个是利用异面直线所成角的定义，过B1作B1E∥A1P，证明B1E⊥BQ即可。第二种思路是利用线面垂直的定义证明线线垂直，那么我们要思考的是去证明A1P⊥BQ所在平面？还是BQ⊥A1P所在平面？都不是很方便，这两条直线所在的平面也不是很好寻找，所以相对来说，我们选择思路一比较适合。下面我们来看一下解题过程。
证明：如图，设E为BC的中点，连接B1E，易证A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）
本题小结：本题考查我们对证明空间中两直线垂直方法的理解与掌握．可供我们选择的方法有两种，一种是异面直线所成角的定义，一种是线面垂直的性质定理，我们要选择一个适合题目的方法进行解答，这也要求我们不但要熟练掌握这些定理与方法，同时还要正确且迅速的做出选择．
例题 如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证AB⊥PC．
分析：此题也是一道证明线线垂直的题目，和刚刚的例题一样。仍然是这两种办法，但是我们选择哪一个呢？我们一起来分析一下。与上一道例题不同的是，我们发现如果选择用异面直线所成角的定义方法，我们需作出直线AB，PC的平行线，才能找到这两条异面直线所成角，有些繁琐和困难。那么通过线面垂直的判定和定义能否能让这道题迎刃而解呢？
下面我们从问题出发，如果要证AB⊥PC，线线垂直，我们只需证明线面垂直，即AB⊥PC所在平面或者PC⊥AB所在平面，此时我们选择哪一个呢？如果选择AB⊥PC所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在PC所在平面内寻找两条都与AB垂直的相交直线，如果选择PC⊥AB所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在AB所在平面内寻找两条都与PC垂直的相交直线，当我们犹豫的时候可以再回头看看已知条件，能否给我们一些启示，题目中有CD⊥AB，提供给我们一条与AB垂直的直线CD，那么只需证明AB⊥平面PCD即可，现在需要在平面PCD中找一条与AB垂直的直线，已知条件中没有与AB垂直的直接条件，那么我们可以根据定理寻找题目中有没有线面垂直的条件，通过线面垂直的定义可以得到线线垂直，题目中给出PO⊥底面ABC，并且PO平面PCD，可以得到PO⊥AB，这样我们对于这道题的解题思路就捋顺清楚了。下面来看一下具体的解题过程。
证明：∵ PO⊥平面ABC，AB平面ABC，
∴ PO⊥AB．
又 CD⊥AB，PO∩CD=O，
PO平面PDC，CD平面PDC，
∴ AB⊥平面PDC．
又 PC平面PDC，
∴AB⊥PC．
本题小结：本题虽然和上一道例题都是证明线线垂直的问题，但是方法上有所不同，相比较异面直线所成角的方法，通过线线垂直与线面垂直之间的联系解决本题更为恰当，我们采取了从问题出发的方式，也就是分析法，分析法对于证明题的分析非常地有针对性．在我们以后解决问题时，也可以多多使用．在整个分析过程中，我们发现有一些条件是直接能给我们一些启发的，方便进行方法上的选择，有一些条件则需要我们进一步挖掘它所产生的结论，给我们的证明过程提供充足的条件，所以我们在解题时，一定要果断决策，多看条件，逐步分析，串联过程．
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）B1D⊥平面A1BC1；
（2）B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．
分析：例题的第一个问是一道证明线面垂直的问题。线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，在空间中垂直知识结构中有着承上启下的作用。要证B1D⊥平面A1BC1，那么我们就要寻找在平面A1BC1中与B1D垂直的两条相交直线，平面A1BC1中最明显的三条直线A1C1，A1B，BC1。由于三条线段是正方体三个面的对角线，所以我们只研究一条直线就可以。不妨我们以A1C1为研究对象，要证明B1D⊥A1C1线线垂直，一种办法是可以通过线面垂直的定义得到，即需要证明A1C1⊥B1D所在的平面，由于正方体每条棱都有两个与之垂直的平面，每个面对角线都垂直，所以A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，所以A1C1⊥平面D1DB1，得到A1C1⊥B1D。另外一种办法是我们可以利用异面直线所成角的定义。下面我们来看第一问具体的解答过程。
证明：（1）方法一：连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，
又 DD1⊥平面A1B1C1D1，
∴ DD1⊥A1C1．
∴A1C1⊥平面D1DB1．
∴ A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，
∴ B1D⊥平面A1BC1．
证明：（1）方法二：连接B1D1交A1C1于点O，取DD1中点E，连接EO，EC1，设正方体棱长为a．
∵ 点O、点E分别是线段B1D1、线段DD1的中点，
∴ OE是△ B1D D1的中位线，
∴ OE∥B1D，
∴ ∠EOC1为B1D与A1C1所成角．
∵正方体棱长为a，
∴ OE=，OC1=，EC1=．
∴ OE2+OC12=EC12．
∴ EO⊥OC1．
故 A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，
∴ B1D⊥平面A1BC1．
分析：第2问考查有关于三角形性质的内容。重心是三角形三边中线的交点，本题中△A1BC1是等边三角形，所以重心也是垂心、外心、内心，故本题我们可以考虑转化求解。题目中还有哪些信息能为我们选择提供条件呢？正方体ABCD-A1B1C1D1，每条棱都相等，那么也就是说三棱锥B1-A1BC1为正三棱锥，且由（1）知，B1D⊥平面A1BC1，易得A1H=BH=C1H，所以转化为外心求解更为合适。下面我们来看一下具体的解题过程。
证明：（2）连接A1H，BH，C1H．
∵ A1B1=BB1=C1B1，
∴ A1H=BH=C1H．
∴ 点H为△A1BC1的外心．
又 △A1BC1为正三角形，
∴ H是△A1BC1的重心．
本题小结：本题考查我们对于空间垂直定理的理解与掌握，以及利用立体几何解决平面几何问题的能力，本题在分析求解的过程中，利用分析法，从问题出发，需要不断地结合已知条件将所求问题进行转化求解，提升了我们的转化思维．第（1）问，线面垂直问题是连接线线垂直与面面垂直的重要桥梁，需要我们转化为线线垂直与面面垂直问题．第（2）问结合已知条件把重心转化为外心，使问题得到解决，所以对于很多题目，转化思维是必不可少的，我们一定要细致地分析，并进行经验总结，之后遇到类似的问题也就能迎刃而解了．
例题 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
分析：本题第（1）问依然是考查线面垂直内容。证明线面垂直，我们知道可以通过线面垂直的判定定理，也就是线线垂直来证明，或者通过面面垂直的性质来证明，那么我们现在要仔细剖析已知条件，来找出暗含的垂直条件，进而方便我们做出选择。侧面PAD是正三角形，M是PD的中点说明AM⊥PD，这个条件给我们启发，如果我们在平面PCD中再找到一条直线与AM垂直，就可以通过线线垂直来判定线面垂直了。题目中给出侧面PAD⊥底面ABCD，以及正方形ABCD，通过面面垂直的性质，我们可以得到CD⊥平面PAD，在通过线面垂直的定义，得到AM⊥CD，这样，我们在平面PCD中就得到了两条相交的直线与AM垂直，然后再利用线面垂直的判定定理来证明AM⊥平面PCD。下面我们来看一下具体的解题过程。
证明：（1）∵ 底面ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ CD⊥平面PAD．
∵ AM平面PAD，
∴ CD⊥AM．
∵ 侧面PAD是正三角形，且M是PD
的中点，
∴ AM⊥PD．
∵ CD平面PCD，
PD平面PCD，CD∩PD=D，
∴ AM⊥平面PCD．
分析：第二问是求二面角的问题，欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角。方法是在平面PBC与底面ABCD的交线BC上取一点N，分别在两个平面内过点N作BC的垂线，即可得到二面角的平面角，棱上的点N的位置是非常重要的，是求二面角的关键之处，那么本例题具体应该把点N取在棱上的什么位置呢？我们来看看已知条件能否给我们启发？
思路一我们经常会遇到一些特殊图形，比如等腰三角形、矩形、等腰梯形等等，这些对称的图形总能让我们对于在棱上取点变得容易，那么我们来看看△PBC是否是特殊的图形，由于△PAD是等边三角形，且AB⊥PA，CD⊥PD，所以RT△PAB≌RT△PDC，故PB=PC，所以△PBC是等腰三角形,故取BC中点N，取AD中点O，连接PN，ON，故∠PNO为所求二面角的平面角。第二个思路，已知侧面PAD⊥底面ABCD，那么取AD中点O，可以得到PO⊥底面ABCD，则BC⊥PO，再取BC中点N，则ON⊥BC，那么有BC⊥平面PON，所以BC⊥PN，故∠PNO为所求二面角的平面角。这样我们就找到了点N的位置，下面我们来看一下具体的解题过程。
解：（2）设AB=a，取AD中点O，BC
中点N，连接PN，NO，OP．
∵ 底面ABCD为正方形，点O，N分
别为AD，BC的中点，
∴ ON⊥AD，ON⊥BC
且ON=AB=CD=a．
∵ 侧面PAD是正三角形，
∴ PO⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ PO⊥平面ABCD．
又BC平面ABCD，ON平面ABCD，
∴ PO⊥BC，PO⊥ON．
∵ PO平面PON，ON平面PON，
PO∩ON=O，ON⊥BC，PO⊥BC，
∴ BC⊥平面PON．
又 PN平面PON，
∴ BC⊥PN．
故 ∠PNO是所求二面角的平面角．
∵ PO⊥ON，
∴△PON为直角三角形．
∵ PO=，ON=a， PO 2+ON 2=PN 2．
∴PN=．
∴ cs∠PNO=．
故 侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
本题小结：对于立体几何的综合题目，切勿“埋头苦做”，多多“抬头看题”，解题思路也许有很多种，但我们还是要看看哪些条件在我们抉择时能给我们一定的启发，帮助我们选择最适合的方法．在垂直这部分知识中，线线垂直、线面垂直、面面垂直相互关联，我们要尽可能的去挖掘题目中的垂直条件，帮助我们利用这些定理来转化问题，解决问题．
例题 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
分析：本题第（1）问是证明面面垂直，我们可以在平面PAC或者平面PBC内寻找垂直于另外一个平面的直线，通过线面垂直证明面面垂直。现在，我们就来剖析已知条件，挖掘更多的垂直条件。由PA⊥底面ABC，通过线面垂直定义可以得到线线垂直，也就是PA垂直于平面ABC内的任意一条直线，和BC⊥AC相联系，得到BC⊥PA，故BC⊥平面PAC，这样，我们就可以通过面面垂直的判定定理来证明平面PAC⊥平面PBC。下面我们来看具体的解题过程。
（1）证明：
∵ PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴ PA⊥BC．
∵ ∠ACB=90°，
∴ BC⊥AC．
又 AC∩PA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ BC平面PBC，
∴ 平面PAC⊥平面PBC．
本题的第（2）问考查线面所成角的内容。首先根据线面所成角的定义，作出线面所成角。思考要想做出线面所成角，需要具备哪些元素？需要垂线和射影，找到平面PBC的垂线，自然就会找到AM在平面PBC上的射影，寻找平面PBC的垂线，也就是要构造线面垂直，由（1）可知，平面PAC⊥平面PBC，所以我们可以通过面面垂直的性质得到线面垂直，题目中的已知条件AC=PA，所以△PAC是等腰三角形，可以取PC中点D，连接AD，DM，有AD⊥平面PBC，故DM为AM在平面PBC上的射影，那么∠AMD为所求线面所成角。下面我们来看具体的解题步骤。
（2）解：设AC=BC=PA=2a，取PC中点D，连接AD，DM．
∵ PA=AC，D为PC中点，
∴ AD⊥PC．
由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，
∴ AD⊥平面PBC．
故 ∠AMD是AM与平面PBC所成的角．
∵ PA⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴ PA⊥AC．
∵ AC=PA=2a，
∴ AD=a．
∵ 点D，M分别是PC，PB的中点，
∴ DM是△PBC的中位线．
∴ DM=BC=a.
∵ AD⊥平面PBC ，MD平面PBC，
∴ AD⊥MD．
∴△ADM为直角三角形．
∴ tan∠AMD=．
故AM与平面PBC所成角的正切值为．
本题小结：本题考查了证明面面垂直以及求解线面所成角的问题．这样的题目虽然很综合，但我们在思考中，还是要回归本源，回归到定义，定理以及性质上，再结合题目的已知条件，“顺藤摸瓜”，明确题目的解题思路，准确、快速解决问题．
总结
本节课我们学习了如何解决空间直线、平面垂直关系问题，请大家思考以下几个问题：
（1）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，运用了哪些知识？
（2）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，怎样寻找并确定解题思路？
（3）在本节课中，通过我们对空间垂直关系问题的分析，目的是要培养同学们逻辑推理以及直观想象核心素养．你能谈谈你的收获吗？
在解决空间直线、平面垂直关系问题中，我们运用了异面直线所成角、线面所成角、二面角、以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，更多的是运用这些定理之间的密切联系，结合题目中的已知条件，去寻找解题的思路和方法．切不可“盲目”，也不可“埋头苦做”，更不要轻言放弃．相信同学们通过这节课的学习，会对空间中直线、平面的垂直问题有新的体会与认识，在今后的学习过程中，通过不断地实践和总结，可以使得空间中的垂直问题迎刃而解．
作业
1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则（ ）．
（A）α∥β，l∥α
（B）α与β相交，且交线平行于l
（C）α⊥β，l⊥β
（D）α与β相交，且交线垂直于l
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
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