人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品一课一练

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一、诱导公式
1、诱导公式（一~六）
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ，，，其中
诱导公式三： ，，，其中
诱导公式四：，，，其中
诱导公式五：，，其中
诱导公式六：，，其中
2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
意思是说角(为常整数)的三角函数值：
当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；
当为偶数时，函数名不变，
然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
3、用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1、“负化正”：用公式一或三来转化．
2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
三、利用诱导公式求值与求解解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
3、观察互余、互补关系：如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等互余，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
题型一 利用诱导公式给角求值
【例1】的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选:C.
【变式1-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B．
【变式1-2】计算：______.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：.
【变式1-3】计算：___________.
【答案】0
【解析】
故答案为：0
题型二 利用诱导公式给值求值
【例2】若且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
又由为第二象限角，所以．故选：B.
【变式2-1】设，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.故选：C.
【变式2-2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.故选：A.
【变式2-3】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
，
所以.故选：C.
【变式2-4】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
题型三 利用互余互补关系求值
【例3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴.故选:D．
【变式3-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A.
【变式3-2】若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，故选：B.
【变式3-3】已知cs＝a(|a|≤1)，则cs＋sin的值是________.
【答案】0
【解析】∵，
，
.
故答案为：0.
【变式3-4】已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）因为，
所以，
，
故.
题型四 利用诱导公式化简求值
【例4】化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，故选：C
【变式4-1】（多选）已知角满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，则且，
当为奇数时，原式；
当为偶数时，原式.
故原式的取值可能为、.故选：AC.
【变式4-2】已知是第四象限角，且，则___________.
【答案】
【解析】由题设，，
.
故答案为：
【变式4-3】（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）因为，所以函数的周期为6，
，，，
，，；
由于，
所以＋＋＋…＋.
【变式4-4】已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得：
（2）∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴
题型五 三角恒等式的证明
【例5】已知、、为的三个内角，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在中，，则.
所以，，
故原等式得证.
【变式5-1】（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）左边=
=右边，
所以原等式成立.
（2）方法1：左边==
==右边，
所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边==
==右边，等式成立.
【变式5-2】求证：＝．
【答案】证明见解析
【解析】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
【变式5-3】证明：，．
【答案】证明见解析
【解析】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．