高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀课后复习题，文件包含33幂函数高一数学上学期同步讲与练人教A版必修第一册原卷版docx、33幂函数高一数学上学期同步讲与练人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

一、幂函数的图象与概念
1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．
对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
3、幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
二、幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
题型一 判断是否为幂函数
【例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.
【变式1-1】下列函数是幂函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】形如（为常数且）为幂函数，
所以，函数为幂函数，
函数、、均不是幂函数.故选：C.
【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
【答案】A
【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A.
【变式1-3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：，则需要满足，即，
所以函数的定义域为，故A不符合题意；
B：，则需要满足，
所以函数的定义域为，故B不符合题意；
C：，则需要满足，
所以函数的定义域为，故C不符合题意；
D：，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.
题型二 求幂函数的解析式
【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】BC
【解析】由已知可得，解得或.故选：BC.
【变式2-1】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．
【答案】
【解析】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，
则，解得，
所以.
【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.
【答案】
【解析】是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
【变式2-3】已知幂函数在为减函数，则___________.
【答案】
【解析】为幂函数，
所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；
当时，为R上的减函数.
所以，所以.
【变式2-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
【答案】4
【解析】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，∴. ，.
题型三 幂函数定义域问题
【例3】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
则有，解得且，
因此的定义域是．故选：B.
【变式3-1】函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由可知其定义域为.
【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．R B．C． D．
【答案】C
【解析】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为．故选：C
【变式3-3】若有意义，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】若有意义，则，解得
所以实数的取值范围是.
题型四 幂函数的值域问题
【例4】函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．
【答案】
【解析】因为函数在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，．
【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
【答案】
【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由幂函数的图像过点，
可得，解得，所以，
函数，
则，
所以在区间上单调递增，
所以的最小值.故选：
【变式4-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，代入点得
，
则，令，
函数的值域是.故选：C.
【变式4-4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
题型五 幂函数图象的判断及应用
【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，故选：D
【变式5-1】函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（ ）.
A．①④ B．① C．①② D．①③④
【答案】A
【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，
所以，若，可得，所以①正确；
当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，
所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，
所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．
【变式5-2】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，所以，
则函数的定义域为，所以排除CD，
因为，所以在上为减函数，
所以排除B，故选：A
【变式5-3】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】D
【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，
结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.
【变式5-4】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A．； B．，；
C．，； D．，．
【答案】B
【解析】由图象知；在上递增，所以，
由的图象增长的越来越慢，所以，
在上递减，所以，
又当时，的图象在的下方，所以，故选：B
【变式5-5】函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，满足，
即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；
该函数是幂函数，，
故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.故选：A.
题型六 幂函数图象过定点问题
【例6】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.
【变式6-1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
所以，函数的图象过定点，
又函数与图象关于对称，
因此，函数必过定点.故选：D.
【变式6-2】函数的图象必经过定点
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,解得,当时,,所以图象恒过，故选D
【变式6-3】函数恒过定点______．
【答案】
【解析】当，即时，，函数恒过定点.
【变式6-4】函数的图象过定点________．
【答案】
【解析】幂函数的图象过，
将代入，可得，
所以函数的图象过定点.
【变式6-5】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点____．
【答案】
【解析】因为幂函数过点，可解得，
所以，
故，
当时，，
故恒过定点.
题型七 利用幂函数单调性解不等式
【例7】若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（ ）
A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（–∞，0） D．（1，+∞）
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式是，
将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得，
故函数在定义域是[0，+∞），
故在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D．
【变式7-1】已知函数，那么不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，
不等式等价于
【变式7-2】若 ，求a的取值范围.
【答案】
【解析】的定义域为，且在上是减函数，
原不等式等价于，即，
，的取值范围是.
【变式7-3】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.
【答案】且.
【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.
因为，所以或2.
又函数的图象关于轴对称，所以是偶数，
而为奇数，为偶数，所以，
所以，在上为增函数，在上为减函数，
所以等价于且，
解得且.
故实数的取值范围为且.
【变式7-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.
又，所以.
又函数）的图象关于y轴对称，所以为偶数，所以.
，得或或，
解得或，所以实数a的取值范围是.
题型八 幂函数性质的综合应用
【例8】已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.
∵在上单调递增，∴.
∵，，∴，
∴解得.
故实数的取值范围为.
【变式8-1】已知幂函数的图像关于y轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
【变式8-2】已知函数．
（1）若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：
（2）若在上减函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）{或且}.
【解析】（1）在上增函数，，解得
又,，
由为偶函数知，；
（2）若在上减函数，则，
解得或，
即的取值范围是{或且}．
【变式8-3】已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为
【变式8-4】已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.
【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，
所以，即 ，解得：，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
所以，
（2），
令
当时，，，此时是奇函数，
当时，，此时是偶函数，
当且时，，，
，，此时是非奇非偶函数函数.