高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题，共7页。
1．已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A.4条B．3条
C．2条D．1条
2．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AB|＝7，则△ABF2的周长为( )
A.16B．30
C．38D．60
3.
青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1D．eq \f(x2,4)－y2＝1
4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线2x＋y＝0交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝25B．y2－x2＝16
C．y2－x2＝9D．y2－x2＝6
5．(多选)双曲线E：eq \f(x2,4)－y2＝1的右焦点为F，过F的动直线l与E相交于A，B两点，则( )
A.曲线E与椭圆eq \f(x2,6)＋y2＝1有公共焦点
B．曲线E的离心率为eq \f(\r(5),2)，右顶点到渐近线的距离为1
C．|AB|的最小值为1
D．满足|AB|＝4的直线l有且仅有3条
6．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
7．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB＝60cm，PC＝20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为________cm.
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，且双曲线C过点(－2，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．
[提能力]
9．已如双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且4|AF1|＝3|AB|，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(10),2)B．eq \r(10)
C．eq \f(\r(5),2)D．eq \r(5)
10．(多选)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝2，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有( )
A．y＝x＋1B．y＝3x＋1
C．y＝2x＋4D．y＝eq \r(2)x＋3
11．已知直线y＝eq \f(x,2)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
12．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为M(5，3)，求直线AB的方程．
[培优生]
13．已知F是双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点，若直线y＝kx(k＞0)与双曲线相交于A，B两点，且∠AFB≥120°，则k的范围是( )
A．[eq \f(\r(6),6)，eq \f(\r(3),3)) B．(0，eq \f(\r(6),6)]
C．[eq \f(\r(7),7)，eq \f(\r(3),3)) D．(0，eq \f(\r(7),7)]
课时作业(二十七) 双曲线的简单几何性质(2)
1．解析：因为双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．
答案：B
2．解析：设|AF1|＝m，|BF1|＝n，由题意可得m＋n＝7，
由双曲线的定义可得|AF2|＝m＋8，|BF2|＝n＋8，
则△ABF2的周长是|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝m＋n＋(m＋n)＋16＝16＋2|AB|＝16＋2×7＝30.
答案：B
3．解析：由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得a＝2，b＝eq \r(3)，故该双曲线的标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
答案：B
4．解析：由题意可设双曲线方程为y2－x2＝m，m＞0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2－x2＝m,2x＋y＝0))，得3x2＝m，则x＝±eq \r(\f(m,3))，m＞0，
不妨假设xA＝eq \r(\f(m,3))，则yA＝－2eq \r(\f(m,3))，
由图象的对称性可知，|AB|＝2eq \r(15)可化为|OA|＝eq \r(15)，即eq \r(\f(m,3)＋4×\f(m,3))＝eq \r(15)，解得m＝9，故双曲线方程为：y2－x2＝9.
答案：C
5．解析：由题意可得双曲线E中，a2＝4，b2＝1，则a＝2，b＝1，c＝eq \r(5)，焦点为(±eq \r(5)，0)，因为eq \f(x2,6)＋y2＝1的焦点为(±eq \r(5)，0)，所以曲线E与椭圆eq \f(x2,6)＋y2＝1有公共焦点，所以A正确；双曲线E的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，由于右顶点到两条渐近线的距离相等，所以不妨求右顶点(2，0)到渐近线y＝eq \f(1,2)x的距离d＝eq \f(|2－0|,\r(1＋4))＝eq \f(2\r(5),5)，所以B错误；当A，B两点位于双曲线的异支时，直线AB的斜率为0时，|AB|最小，此时A，B两点分别为双曲线的左右顶点，此时|AB|＝2a＝4，当A，B两点位于双曲线的同支时，直线AB的斜率不存在时，|AB|最小，直线AB的方程为x＝eq \r(5)，代入eq \f(x2,4)－y2＝1可得y＝±eq \f(1,2)，此时|AB|＝2×eq \f(1,2)＝1，所以|AB|的最小值为1，所以C正确，由选项C知，当A，B两点位于双曲线的异支时，|AB|min＝4，此时只有一条，当A，B两点位于双曲线的同支时，|AB|min＝1，则由双曲线的对称性可知，此时存在两条直线使得|AB|＝4，所以满足|AB|＝4的直线有且仅有3条，所以D正确．
答案：ACD
6．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m).
又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.
答案：±1
7．解析：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0，x≥a)，
因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以a＝b，即x2－y2＝a2，
因为AB＝60cm，PC＝20cm，所以点B的坐标为：(a＋20，30)，代入x2－y2＝a2，得：(a＋20)2－302＝a2⇒a＝eq \f(25,2)，因此有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(625,4)＋\f(625,4))＝eq \f(25\r(2),2)，
所以该双曲线的焦距为2c＝2×eq \f(25\r(2),2)＝25eq \r(2).
答案：25eq \r(2)
8．解析：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝\r(3)a,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1,b2＝3))，
所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋3,x2－\f(y2,3)＝1))，得(3－k2)x2－6kx－12＝0，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－k2≠0,Δ＝36k2＋48（3－k2）＝0))，解得k＝±2eq \r(3).
当3－k2＝0，即k＝±eq \r(3)时，直线l与双曲线C的渐近线y＝±eq \r(3)x平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以k＝±2eq \r(3)或k＝±eq \r(3).
9．解析：连接F1B，设|AF1|＝3x，则根据4|AF1|＝3|AB|可知，|AB|＝4x，因为AF1⊥AB，由勾股定理得：|F1B|＝5x，由双曲线定义可知：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，解得：|AF2|＝3x－2a，|BF2|＝5x－2a，从而3x－2a＋5x－2a＝4x，解得：x＝a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，由勾股定理得：9a2＋a2＝4c2，从而eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),2)，即该双曲线的离心率为eq \f(\r(10),2).
答案：A
10．解析：因为|PA|－|PB|＝2＜|AB|，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a＝1，c＝2，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线为x2－eq \f(y2,3)＝1(x＞0)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，y＝x＋1的斜率为1＜eq \r(3)，故与x2－eq \f(y2,3)＝1(x＞0)有交点，A正确；y＝3x＋1的斜率3＞eq \r(3)，且与y轴交点为(0，1)，故与x2－eq \f(y2,3)＝1(x＞0)无交点，B错误；y＝2x＋4的斜率2＞eq \r(3)，且与y轴交点为(0，4)，故与x2－eq \f(y2,3)＝1(x＞0)无交点，C错误；y＝eq \r(2)x＋3的斜率eq \r(2)＜eq \r(3)，故与x2－eq \f(y2,3)＝1(x＞0)有交点，D正确．
答案：AD
11．解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可知eq \f(b,a)＞eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＞eq \f(\r(5),2).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))
12．解析：(1)因为C的离心率为2，所以eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，
可得eq \f(b2,a2)＝3.将x＝eq \r(a2＋b2)代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
可得y＝±eq \f(b2,a)，由题设eq \f(b2,a)＝6.解得a＝2，
b2＝12，b＝2eq \r(3)，
所以C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,12)＝1，eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,12)＝1.
因此eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)),4)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,12)＝0，即eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)－eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,12)＝0.
因为线段AB的中点为M(5，3)，所以x1＋x2＝10，
y1＋y2＝6，从而eq \f(y1－y2,x1－x2)＝5，于是直线AB的方程是y＝5x－22.
13．解析：∵eq \f(x2,3)－y2＝1,
∴a2＝3，b2＝1焦点在x轴上，
∴c2＝3＋1＝4，
∴焦点坐标为E(－2，0)，F(2，0).
由双曲线的对称性可得AE＝BF，
又∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,y＝kx（k＞0），))
∴y2＝eq \f(3k2,1－3k2)，
∴y＝±eq \f(\r(3)k,\r(1－3k2))，
∴S△AFB＝eq \f(1,2)·|OF||y1－y2|＝eq \f(2\r(3)k,\r(1－3k2)).
又∵|AF|－|AE|＝|AF|－|BF|＝2eq \r(3)，
∴|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|＝12，
又∵|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \f(2\r(3)k,\r(1－3k2))，而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|cs∠AFB，
S△AFB＝eq \f(1,2)|AF||BF|sin∠AFB.
当∠AFB＝120°时，整理得2k2＝keq \r(1－3k2)，
又∵k＞0，
∴k＝eq \f(\r(7),7)，
又∵eq \f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
∠AFB≥120°，
∴k的取值范围为[eq \f(\r(7),7)，eq \f(\r(3),3)).
答案：C