湘教版（2019）选择性必修 第一册3.2 双曲线同步达标检测题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.2 双曲线同步达标检测题，共7页。
1．[2022·湖南衡阳高二期末]双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为( )
A．y＝±2xB．y＝±eq \f(1,2)x
C．y＝±eq \r(2)xD．y＝±eq \f(\r(2),2)x
2．中心在坐标原点，离心率为eq \f(5,4)的双曲线的焦点在x轴上且虚轴长为12，则该双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1
C．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
3．[2022·湖南师大附中高二期中]双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的渐近线方程是：y＝±2eq \r(2)x，则双曲线的焦距为( )
A．3B．6
C．2eq \r(7)D．eq \f(3\r(2),2)
4．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的eq \f(\r(3),4)，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2)B．2
C．eq \r(3)D．3
5．(多选)已知双曲线C：x2－4y2＝1，则双曲线的( )
A．焦点坐标为(eq \r(5)，0)，(－eq \r(5)，0)
B．离心率为eq \r(5)
C．渐近线方程为x＋2y＝0和x－2y＝0
D．虚轴长为1
6．(多选)双曲线C1：eq \f(x2,4)－y2＝1与C2：eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)的( )
A．顶点相同B．焦点相同
C．离心率相同D．渐近线相同
7．若双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m＝________．
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞1)的两条渐近线的夹角为eq \f(π,3)，则双曲线的实轴长为________．
9．已知双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
(1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点(2，2)的双曲线标准方程；
(2)当过点(2，1)的直线l与双曲线C有两个公共点时，求直线l斜率取值范围．
[提能力]
10．若双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率大于eq \f(2\r(3),3)，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(eq \f(\r(21),3)，＋∞) B．(1，eq \f(\r(21),3))
C．(eq \f(\r(7),2)，＋∞) D．(1，eq \f(\r(7),2))
11．(多选)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A．C的焦点F到渐近线的距离为4
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．C上的点到F距离的最小值为2
D．过F的最短的弦长为eq \f(32,3)
12．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为C，过点F作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线的离心率为________．
13．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，使得|F1F2|，|F2P|，|F1P|依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C的实轴长为________，若∠F1F2P＝120°，则双曲线C的离心率为________．
14．已知双曲线E：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的离心率为2.
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．
[培优生]
15．(多选)已知两点A(－4，0)，B(4，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝4，则称该直线为“点定差直线”．下列直线中，是“点定差直线”的有( )
A．y＝eq \r(2)x＋1B．y＝－eq \r(3)x＋1
C．y＝2x＋4D．y＝x＋1
课时作业(二十八) 双曲线的简单几何性质
1．解析：双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为x2－4y2＝0，即y＝±eq \f(1,2)x.
答案：B
2．解析：因为双曲线的虚轴长为12，所以2b＝12，即b＝6，
因为双曲线的离心率为eq \f(5,4)，所以eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(5,4)，所以a2＝64，
所以该双曲线的方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1.
答案：B
3．解析：因为双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的渐近线方程是：y＝±2eq \r(2)x，
所以b2＝8，c2＝9，
所以焦距为2c＝6.
答案：B
4．解析：因为双曲线C的顶点(a，0)到一条渐近线bx－ay＝0的距离为eq \f(ab,c)，
所以eq \f(ab,c)＝eq \f(\r(3),4)×2a，所以eq \f(b2,c2)＝eq \f(c2－a2,c2)＝eq \f(3,4)，
所以c2＝4a2，双曲线C的离心率e＝2.
故选B.
答案：B
5．解析：x2－4y2＝1⇒x2－eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
所以a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(5),2)，
A，焦点坐标为(eq \f(\r(5),2)，0)，(－eq \f(\r(5),2)，0)，故A错误；
B，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，故B错误；
C，x2－4y2＝0，整理可得渐近线方程为x＋2y＝0和x－2y＝0，故C正确；
D，虚轴长2b＝1，故D正确．
答案：CD
6．解析：由C2：eq \f(x2,4)－y2＝λ⇒eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1，又因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：eq \f(x2,4)－y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝5，e＝eq \f(\r(5),2)，渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，
对C2：eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1，a2＝4λ，b2＝λ，c2＝5λ，e＝eq \f(\r(5),2)，渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，
由此判断B错，CD正确．
答案：CD
7．解析：双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1焦点在x轴上，∴渐近线为y＝±eq \r(m)x，∴eq \r(m)＝2⇒m＝4.
答案：4
8．解析：由于a＞1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,a)x，eq \f(1,a)＜1，
所以双曲线的渐近线与x轴夹角小于eq \f(π,4)，
由eq \f(1,a)＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)得a＝eq \r(3)，实轴长2a＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
9．解析：(1)由已知可设双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ，
又双曲线过点(2，2)，即eq \f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，
故双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝－3，即eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1；
(2)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－2k＋1,\f(x2,4)－y2＝1))得(1－4k2)x2＋(16k2－8k)x－16k2＋16k－8＝0，
k≠±eq \f(1,2)，Δ＝(16k2－8k)2－4(1－4k2)(－16k2＋16k－8)＝－32(2k－1)＞0，
解得：k＜eq \f(1,2)且k≠－eq \f(1,2)，
综上所述：k∈(－∞，－eq \f(1,2))∪(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)).
10．解析：因为双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率大于eq \f(2\r(3),3)，
所以eq \f(a,b)＞eq \f(2\r(3),3)，即3a＞2eq \r(3)b，也即3a2＞4b2，
所以3a2＞4(c2－a2)，所以7a2＞4c2，
所以e＜eq \f(\r(7),2)，又因为双曲线的离心率e＞1，
所以1＜e＜eq \f(\r(7),2)，
双曲线离心率的取值范围是(1，eq \f(\r(7),2)).
答案：D
11．解析：由题意知，2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，
因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得：b＝4，
所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，
对于A：F(5，0)到渐近线4x－3y＝0的距离为eq \f(|4×5|,\r(42＋32))＝4，故A正确；
对于B：因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，故B错误；
对于C：当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到F的距离最小为2，故C正确；
对于D：过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3，0)，B(3，0)，此时为过点F的最短弦为|AB|＝6，故D错误．
答案：AC
12．解析：设F(c，0)，其中c2＝a2＋b2,
当x＝c时，eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则y2＝b2(eq \f(c2,a2)－1)＝eq \f(b4,a2)，即|y|＝eq \r(b2（\f(c2,a2)－1）)＝eq \f(b2,a)，
所以|AF|＝eq \f(b2,a).
由△ABC为直角三角形，根据双曲线的对称性可得|AC|＝|BC|，即∠ACF＝45°，
所以|CF|＝|AF|，即a＋c＝eq \f(b2,a)，也即c2－2a2－ac＝0,
所以e2－e－2＝0，解得e＝2.
答案：2
13．解析：结合题意知2a＝|F1P|－|F2P|＝2，即a＝1，则双曲线C的实轴长为2a＝2.
又|F1F2|＝2c，|F2P|＝2c＋2，|F1P|＝2c＋4，
由余弦定理知cs∠F1F2P＝eq \f(（2c）2＋（2c＋2）2－（2c＋4）2,2·2c·（2c＋2）)＝－eq \f(1,2)，解得c＝eq \f(3,2)，故e＝eq \f(3,2).
答案：2 eq \f(3,2)
14．解析：(1)由x2－eq \f(y2,b2)＝1，则a＝1，
因为e＝eq \f(c,a)＝2，解得c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线E的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且Δ＞0，
所以k2＜4且k2≠3，
因此，可得x1＋x2＝eq \f(2k,3－k2)，x1x2＝eq \f(－4,3－k2).
∴kPA＋kPB＝eq \f(y1＋3,x1)＋eq \f(y2＋3,x2)
＝eq \f(kx1＋4,x1)＋eq \f(kx2＋4,x2)
＝2k＋eq \f(4（x1＋x2）,x1x2)
＝2k＋eq \f(\f(8k,3－k2),\f(－4,3－k2))
＝2k－2k＝0.
15．解析：由题意，两点A(－4，0)，B(4，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝4＜|AB|＝8，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
其中焦点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，则c＝4，
又由2a＝4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝12，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x＞0)，
由题意点P既在双曲线的右支上，又在直线上，即直线与双曲线右支有公共点，
因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
对于A中，由eq \r(2)＜eq \r(3)，所以直线y＝eq \r(2)x＋1与双曲线的右支有交点，符合题意；
对于B中，直线y＝－eq \r(3)x＋1与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意；
对于C中，直线y＝2x＋4与双曲线的右支没有公共点，不符合题意；
对于D中，直线y＝x＋1与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意．
答案：ABD