高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第二课时习题

第2课时 等比数列前项和的性质及应用

A级 必备知识基础练

1. ［探究点一］在各项都为正数的等比数列中，，前3项和，则等于(  )

A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

2. ［探究点二］已知数列是等比数列，且公比不为1，为数列的前项和，则下列结论一定正确的为(  )

A.

B.

C.

D.

3. ［探究点一］已知是等比数列，的前项和，前项和，前项和分别是，，，则(  )

A.  B.

C.  D.

4. ［探究点一］已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则(  )

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

5. ［探究点一］已知等比数列的首项为，前项和为，若，则公比(  )

A. 2 B.  C.  D.

6. ［探究点一］（多选题）记数列的前项和为，，下列四个命题中不正确的有(  )

A. 对于 , ，则数列 为等比数列

B. 若 （非零常数 ， ， 满足 ， ），则数列 为等比数列

C. 若数列 为等比数列，则 , , , 仍为等比数列

D. 设数列 是等比数列，若 ，则 为递增数列

7. ［探究点一］已知数列满足,,则.

8. ［探究点一］已知等比数列的各项均为正实数,为数列的前项和,若,,则.

9. ［探究点一］在等比数列中,若,,求的值.

B级 关键能力提升练

10. 已知等比数列的前项和为，若，，则(  )

A. 81 B. 24 C.  D.

11. 若数列满足,且,则的值等于(  )

A. 200 B. 120 C. 110 D. 102

12. 等比数列的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前项的积为,则的最大值为(  )

A.  B.  C. 1 D. 2

13. （多选题）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(  )

A.  B. 数列 是等比数列

C.  D. 数列{ 是公差为2的等差数列

14. 已知等比数列的前项和为，且,则.

15. 如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前个内切圆的面积和为.

16. 已知正项等差数列的公差不为0，,,恰好是等比数列的前三项，.

（1） 求数列,的通项公式；

（2） 记数列的前项和为，若对任意的,恒成立，求实数的取值范围.

17. 被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔，是世界第一高峰.但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度.”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看.

C级 学科素养创新练

18. （多选题）如果有穷数列,,,,（为正整数）满足,,,即,我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设是项数为的“对称数列”,且1,2,,,,依次为该数列中连续的前项,则数列的前100项和可能的取值为(  )

A.  B.

C.  D.

第2课时 等比数列前 项和的性质及应用

A级 必备知识基础练

1. C

[解析]设公比为,则,且，得.因为，所以.故.

2. D

[解析]若，且为偶数，则有，，此时，，，不成立；根据等比数列的性质也可以得到选项正确.故选.

3. D

[解析]若公比或虽但为奇数时，，，成等比数列，故，整理得，即，若公比，且为偶数时，,满足此式.故选.

4. B

[解析]由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，可知.设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，,.

又前3项之积，解得，

.故选.

5. D

[解析]当公比时，，不满足题意，当时，，，所以，解得.

6. AC

[解析]若，满足对于,，但数列不是等比数列，故错误；

对于，当时，且，当时，因为，则符合上式，故数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；

若数列为等比数列，当公比，且为偶数时，此时,,,均为0，不是等比数列，故错误；

设数列是等比数列，且公比为，若，即，若，可得，即，则为递增数列；若，可得，即，则为递增数列，故正确.

7.

[解析],,

,.

又,,

数列的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.

.

8. 15

[解析] 等比数列的各项均为正实数,为数列的前项和， 由等比数列前项和的性质,可得,,也成等比数列,

,

或（舍去）.

9. 解根据题意,若,,则,则.

B级 关键能力提升练

10. D

[解析]由等比数列的性质可得，解得.设等比数列的公比为，则，所以，所以.

11. D

[解析]因为,

所以,

所以,所以数列是等比数列,公比为10,所以.

12. D

[解析]设数列共有项,由题意得,,因为项数为奇数时,,即,所以.所以,

故当或2时,取最大值2.

13. ABC

[解析]因为数列为等比数列，

又，所以.

又，所以或又公比为整数，则选项正确；由上可知，，，，则数列是等比数列，即选项正确；

，即选项正确；

，即数列{是公差为1的等差数列，即选项错误.

故选.

14. 16

[解析]当时，.

因为，所以，

解得，因此，于是.

15.

[解析]根据题意知第一个内切圆的半径为,面积为 ,第二个内切圆的半径为,面积为这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为 ,公比为,故前个内切圆的面积之和为 .

16. （1） 解设公差为，根据题意知,,,.

,,

,（舍去）.

又,,

,.

,,,

.

（2） 由（1）知,公比.

,

对恒成立.

,

对恒成立.

令,,当时，,当时，,,故.

17. 解每次纸对折后的厚度成等比数列，设为,公比.

.

，理论上对折30次后，

.

所以，理论上对折30次后其厚度会远远超过珠穆朗玛峰的高度.

C级 学科素养创新练

18. ABD

[解析]由题意知数列为1,2,,,,,,,,,2,1.

若,则,正确;

若,则,正确;

若,则,正确.

故选.