人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时综合训练题

第2课时 等差数列前项和的性质及应用

A级 必备知识基础练

1. ［探究点一］在等差数列中,是其前项和,,,则(  )

A.  B. 11 C. 10 D.

2. ［探究点二］已知等差数列的前项和为，,公差,则取得最大值时的值为(  )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. ［探究点一］在等差数列中，前项（为偶数）和为77，其中偶数项之和为44，且，则数列的公差为(  )

A.  B. 4 C. 6 D.

4. ［探究点一］若表示等差数列的前项和，,则(  )

A.  B.  C.  D.

5. ［探究点一、二］（多选题）已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有(  )

A.  B.  C. 最小 D.

6. ［探究点一］已知等差数列的前项和为,若,,则.

7. ［探究点二］已知等差数列，若，公差，则使得其前项和取得最小值的正整数的值是.

8. ［探究点三］等差数列满足,,其前项和为.

（1） 求数列的通项公式;

（2） 求的值.

9. ［探究点一、二］设是等差数列的前项和，，.

（1） 求数列的通项公式；

（2） 求数列的前项和的最值.

从；；中任选一个，补充在上面的问题中并作答.

B级 关键能力提升练

10. 等差数列的前项和为，若，则(  )

A. 2 020 B. 1 525 C. 1 515 D. 2 015

11. 在等差数列中，,,是数列的前项和，则满足数列的前项和最大的的值为(  )

A. 20 B. 21 C. 20或21 D. 21或22

12. 在等差数列中，其前项和为，,且,则在中(  )

A. 最小值是 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最大值是

13. （多选题）设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是(  )

A.  B. 与 是 的最大值

C.  D.

14. （多选题）已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数可以是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

15. 已知数列的奇数项依次构成公差为的等差数列,偶数项依次构成公差为的等差数列（其中,为整数）,且对任意,都有,若,,且数列的前10项和,则,.

16. 设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意,是和的等差中项.

（1） 证明：数列为等差数列，并求;

（2） 若,求数列的最大项，并求出取最大值时的值.

17. 在等差数列中,,,求数列的前项和.

C级 学科素养创新练

18. 设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式.

存在最小值且最小值不等于；

②不存在正整数，使得且.

第2课时 等差数列前 项和的性质及应用

A级 必备知识基础练

1. A

[解析]为等差数列,

为等差数列,首项,设的公差为,则,,

,.

2. A

[解析],，

，抛物线的对称轴为直线，且开口向下，

当时，取得最大值为.故选.

3. B

[解析]设数列公差为，由题意得等差数列前项中，奇数项之和为33，偶数项之和与奇数项之和的差为11，

所以，即.

又，

所以.

4. C

[解析]由题意，得,,,成等差数列.,,,,.

5. AB

[解析]因为是等差数列，设公差为，由，可得，即，即选项正确，又，即选项正确，当时，则或最小，当时，则或最大，即选项错误，又因为，，所以，即选项错误.故选.

6. 12

[解析]等差数列的前项和为,则,,也成等差数列,即.

,,

,解得.

7. 6或7

[解析]由,且，得，，且，所以,故,且为最小值.

8. （1） 解设等差数列的公差为,

则由题意可知解得

所以.

（2） 当时,.当时,.

故

所以.

9. （1） 解选①：

9. （1） 设等差数列的公差为，

由题设知

解得，，

.

（2） 由（1）知，数列是递增数列，且, 当时，有最小值,无最大值.

选②：（1）设等差数列的公差为，由题设知，

，，

.

（2）由（1）知，数列是递减数列，令，得，故当时，有最大值，无最小值.

选③：（1）设等差数列的公差为，由得，.

（2）由（1）知，数列是递减数列，令，得.故当或时，有最大值,无最小值.

B级 关键能力提升练

10. C

[解析]，

，

11. C

[解析]设等差数列的公差为，因为是等差数列，所以也是等差数列，公差为，由,，可得，则，所以,,所以.

可得当,时，；当时，；当,时，，所以当或时，数列的前项和取得最大值.故选.

12. A

[解析]由，得,

即.而,所以.

因为，所以,即.由于，因此数列是递增数列，所以,，所以,,所以在中最小值是.

13. ABD

[解析]由,得，由，得，由，得，，故，正确；而选项，即，可得，由结论，，显然错误；，，与均为的最大值，故正确.故选.

14. ABC

[解析].

当,2,3,5,11时,为整数,即当,2,3,5,11时,为整数.故选.

15. 3; 11

[解析]由题意知,,故.

对任意,都有,

,

即,取时,可得,结合可解得,.

又,为整数，.

.

16. （1） 证明

由已知，得，且.当时，，解得.当时，.所以,即,即.因为,所以.故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.

（2） 解由（1）可知.设,则.因为,所以当或时，的最大项为6.故的最大项为6，此时或.

17. 解等差数列的公差为,故通项公式为.令,即,解得,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数.设,分别表示数列与数列的前项和,则.当时,；当时,.

由,得.故

C级 学科素养创新练

18. 解因为等差数列的前项和为，其对应函数的图象为一抛物线，对称轴为，若存在最小值且最小值不等于，则，且，整理得.又因为不存在正整数，使得且，则连续两项取得最小值，令，所以，所以.令，，则有，令，则为一个符合题意的通项公式.故答案为（不唯一）.