江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列测评新人教A版选择性必修第二册

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第四章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在数列中,,,则( )A. 2 022 B. C. 2 021 D. 2. [2023江西景德镇期末]在正项等比数列中,,则( )A. B. C. D. 3. 在等比数列中,,且,,成等差数列,则的最小值为( )A. B. C. 1 D. 4. [2023四川成都质检]已知为数列的前项和,若,,则( )A. B. C. D. 5. 已知数列满足,则( )A. 64 B. 128 C. 256 D. 5126. 数列,,,,,…的前项和为( )A. B. C. D. 7. [2023江苏常州月考]已知数列满足,在,之间插入个1,构成数列,1,,1,1,,1,1,1,,,则数列的前100项的和为( )A. 178 B. 191 C. 206 D. 2168. 已知等比数列的前项和为,若,,则数列的通项公式是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 等差数列的前项和为,若,公差,且,则下列说法正确的有( )A. 是数列 中的最大项 B. 是数列 中的最大项C. D. 满足 的 的最大值为1310. [2023江苏如皋期末]已知数列的前项和,数列是首项和公比均为2的等比数列,将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列,则下列结论正确的是( )A. B. 数列 中 与 之间共有 项C. D. 11. [2023湖北孝感期末]下列说法正确的是( )A. 已知数列 是等差数列,那么数列 一定是等差数列B. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的值为24C. 已知等差数列 与 的前 项和分别为 与 ,若 ,则D. 设 为等差数列 的前 项和, .若 ,则 的最小值是12. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是( )A. B. 1 225既是三角形数,又是正方形数C. D. 对任意 , ,总存在 , ,使得 成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 写出一个通项公式,使你写出的数列具有性质①②：;为递减数列.14. 已知为单调递减的等差数列的前项和,若数列的前项和,则下列结论正确的有.（填序号）①②③④当或时，取得最大值15. 若数列满足,,,则.16. [2023广西桂林期末]已知公差不为0的等差数列,是其前项和.若,,且,则公差.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知等差数列的前项和为,数列是等比数列,,,,.（1） 求数列和的通项公式;（2） 若,设数列的前项和为,求.18. （12分）已知数列满足,.（1） 证明：数列为等比数列;（2） 当为偶数时,求数列的前项和.19. （12分）已知公差不为0的等差数列中,且,,成等比数列.（1） 求数列的通项公式;（2） 求数列的前项和.20. （12分）观察下面三个等式：第1个：,第2个：,第3个：.（1） 按照以上各式的规律,写出第4个等式;（2） 按照以上各式的规律,猜想第个等式（为正整数）;（3） 用数学归纳法证明你的猜想成立.21. [2023四川雅安期末]（12分）在,这两个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答.已知数列的前项和为,满足,;又知正项等差数列满足,且,,成等比数列.（1） 求和的通项公式;（2） 证明：.22. （12分）正项数列的前项和满足:.（1） 求数列的通项公式;（2） 令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有.第四章测评一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. B[解析],, 数列是首项为1,公差为1的等差数列,,,.故选.2. A[解析]是等比数列,,,,.故选.3. C[解析]设等比数列的公比为,因为,,成等差数列,且,所以,即,解得,所以,所以,所以,当且仅当时取等号，所以当或时,取得最小值1.故选.4. D[解析],,,解得, 数列是首项为2，公比为2的等比数列,.故选.5. A[解析]根据题意,数列满足,①当时，,②,得,则有,当时,有.故选.6. B[解析], 所求和为.7. A[解析]由题意，在数列中，从开始数到，共有个数.当时,,当时,,因为,所以.故选.8. C[解析]由得,所以.因为,所以当时,有,得,从而公比,所以.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. ACD[解析] 等差数列的前项和为,,公差,且,,整理得,.,,,,又是等差数列，是数列中的最大项,故正确.,,是数列中的最大项,故错误.,故正确.,, 由二次函数的知识知当时，单调递减，又, 满足的的最大值为13,故正确.故选.10. AB[解析] 数列的前项和,.当时,,当时,符合上式,. 数列是首项和公比均为2的等比数列,. 数列为1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,,,故正确.数列是由连续奇数组成的数列,,都是偶数,,之间包含的奇数个数为,故正确.,为偶数,但为奇数,,故错误.,前面相邻的一个奇数为,令,解得, 数列从1到共有项,即,故错误.故选.11. ABD[解析]若数列是等差数列,则根据等差数列的性质，可知数列一定是等差数列,正确.在等差数列中,设公差为，则,,解得,,,正确.在等差数列与中,若,则,错误.由,得,整理得,所以等差数列是递增数列.又,所以,,所以数列的前7项为负值,即的最小值是.正确.故选.12. ABD[解析]根据题意,对于数列,易发现,,,,则,当时，符合上式，故.对于数列,易得.对于,,正确.对于,由,解得.由,解得.故1 225既是三角形数,又是正方形数,正确.对于,由,得,则,错误.对于,当,时，,令，,则有.故对任意,,总存在,,使得成立,正确.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. （答案不唯一）[解析]根据题意,数列满足,则数列的通项公式可以为的形式（为常数）,又为递减数列,则其一个通项公式为.14. ②④[解析]设单调递减的等差数列的公差为,,则,所以,所以解得或（不符合题意，舍去）.则,故①错误.,故②正确.因为,,所以③错误.由,可得当或时,取得最大值,故④正确.15. 170[解析],, 当时,有,.16. [解析]在等差数列中,由,,两式相加,可得,两式相减,可得,,.由,得.又,,可得,则,得,,则,得.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解 设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,,,,可得,,解得,则,.（2） ,,所以.18. （1） 证明,,又, 数列为等比数列,首项与公比都为4.（2） 解 由（1）可得,, 当为偶数时,数列的前项和.19. （1） 解 设等差数列的公差为,因为,,成等比数列,所以.即.又,即.两式联立,消去,整理得.因为,所以,.故数列的通项公式为.（2） 由（1）,可知,，①，②,得,所以.20. （1） 解 根据题意,归纳可得第4个等式为.（2） 根据题意,第1个等式为,第2个等式为,第3个等式为,第4个等式为,以此类推,第个等式为.（3） 用数学归纳法证明如下：当时,由第1个等式为,易得时成立;假设当时,等式成立,即,则当时,左式右式,即当时,等式成立,故对于任意的正整数,都有成立.21. （1） 解 选择①时,数列的前项和为,根据题意可得, 当时,有,两式相减,得,又,.又当时,有,即,又,,, 数列是首项、公比均为的等比数列,故.设正项等差数列的公差为,,且,,成等比数列,,即,解得或（舍去）,.故,.选择②时，数列的前项和为,根据题意可得, 当时,,两式相减,得,.又,.又当时,有，即,又,,, 数列是首项、公比均为的等比数列,.设正项等差数列的公差为,,且,,成等比数列,,即,解得或（舍去）,.故,.（2） 证明 由（1）可得,,,.22. （1） 解 由,得.因为数列是正项数列,所以,.于是,当时,.综上可知,数列的通项公式为.（2） 证明 由于,,则..