高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课后测评

4．2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　　等差数列的前n项和

知识点一  等差数列前n项和公式的简单应用

1.已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于(　　)

A．100  B．210

C．380  D．400

答案　B

解析　∵d＝＝＝4，又a2＝a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210.故选B.

2．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9＝(　　)

A．12  B．24

C．36  D．48

答案　B

解析　∵S10＝＝5(a2＋a9)＝120，∴a2＋a9＝24.

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝(　　)

A．8  B．7

C．6  D．5

答案　D

解析　∵S7＝×7＝35，∴a1＋a7＝10，∴a4＝＝5.

4．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　)

A．－n2＋  B．－n2－

C.n2＋  D．n2－

答案　A

解析　易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A.

5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有数的和，那么S21等于(　　)

A．1113  B．4641

C．5082  D．5336

答案　B

解析　因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641.故选B.

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．

解　a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，

∴an＝显然a2－a1＝6－6＝0，a3－a2＝2，

∴{an}不是等差数列.

知识点二  “知三求二”问题

7.等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝(　　)

A．9  B．10

C．11  D．12

答案　B

解析　a1＝1，a3＋a5＝2a1＋6d＝14，∴d＝2，∴Sn＝n＋×2＝100.∴n＝10.

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.

答案　2n

解析　由已知⇒故an＝2n.

9．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________.

答案　211

解析　∵数列{an}中，当整数n＞1时，

Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，

⇔Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2⇔an＋1－an＝2(n＞1)．

∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．

∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211.

10．已知等差数列{an}的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|an|}的前n项和Tn.

解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则解得

所以an＝9－2(n－1)＝11－2n.由an＞0，得n＜，

则从第6项开始数列各项均为负数，那么

①当n≤5时，数列{an}的各项均为正数，

Tn＝＝＝n(10－n)；

②当n≥6时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)

＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－Sn＋2S5

＝n2－10n＋2×(10×5－52)＝n2－10n＋50.

所以Tn＝

一、选择题

1．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n＝(　　)

A．－2  B．0

C．1  D．2

答案　A

解析　∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．又an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，∴2an－a＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)×2－4n＝－2.故选A.

2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是(　　)

A．14斤  B．15斤

C．16斤  D．18斤

答案　B

解析　由题意可知，等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝＝＝15，∴金杖重15斤．故选B.

3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(　　)

A．3  B．－3

C．－2  D．－1

答案　B

解析　由得nd＝－18.

又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.

4．一同学在电脑中打出如下图案：

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…

若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是(　　)

A．12  B．13

C．14  D．15

答案　C

解析　S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故选C.

5．(多选)设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　)

A．d<0  B．a7＝0

C．S9>S5  D．a6＋a10<0

答案　ABD

解析　S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0，a6＋a9＝a7＋a8＝a8<0，所以a6＋a7＋a8＋a9＝2a8<0.所以S5>S9.由a8<0，a6＋a10＝2a8，知a6＋a10<0.从而A，B，D均正确．故选ABD.

二、填空题

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＋a5＝________.

答案　11

解析　由Sn＝n2＋1，得a1＝12＋1＝2，

a5＝S5－S4＝(52＋1)－(42＋1)＝9.

∴a1＋a5＝2＋9＝11.

7．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.

答案　

解析　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，＝，

∴＝＝＝，∴3a1＝2a1＋d，

∴a1＝d，∴＝＝＝.

8．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10＝________.

答案　－15

解析　由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，

∵an＜0，∴a3＋a8＝－3.

∴S10＝＝＝＝－15.

三、解答题

9．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.

解　设等差数列{an}的公差为d，

∵S7＝7，S15＝75，∴

即解得

∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，

∵－＝，

∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，

∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.

10．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满足bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．

解　(1)设等差数列的公差为d，

因为cn＝(－1)nSn，

所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330，

则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，

则10(3＋d)＋×2d＝330，解得d＝3，

所以an＝3＋3(n－1)＝3n.

(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，

bn＋1－bn＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]

＝4(a－2)3n－2＋2n－1

＝4·3n－2，

由bn＋1≤bn⇔(a－2)＋n－2≤0⇔a≤2－n－2，

因为2－n－2随着n的增大而增大，

所以n＝1时，2－n－2的最小值为，所以a≤.