人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时练习

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用

知识点一  等差数列前n项和的性质

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)

A．63  B．45

C．36  D．27

答案　B

解析　因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.故选B.

2．在等差数列{an}中，已知公差d＝且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100的值为(　　)

A．85  B．145

C．110  D．90

答案　A

解析　a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50d＋a1＋a3＋a5＋…＋a99＝85.故选A.

知识点二  等差数列前n项和的最值

3.(多选)等差数列{an}中，S6<S7，S7>S8，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．d<0

B．S9<S6

C．a7是各项中最大的项

D．S7是Sn中最大的值

答案　ABD

解析　由S6<S7，S7>S8，得a7>0，a8<0，d<0成立，各项中最大的项是a1，A正确，C错误；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，S9<S6，B正确；S7是Sn中最大的值成立，D正确．故选ABD.

4．在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.

答案　7或8

解析　在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，

∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，∴a1＝－7d，

∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)＝2－d，∴n＝7或8时，Sn取最大值．

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1>0，S11＝S18，则当n为何值时Sn最大？

解　解法一：由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，

即a1＝－14d>0，所以d<0.

构建不等式组

即解得14≤n≤15.

故当n＝14或n＝15时Sn最大．

解法二：由S11＝S18知，a1＝－14d，

所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝2－d.

由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．

解法三：由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大.

知识点三  等差数列前n项和的综合问题

6.已知正项数列{an}，a1＝1，前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，则a10＝(　　)

A．72  B．80

C．90  D．82

答案　A

解析　由Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，两边同除以，得－＝2；而S1＝a1＝1，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1；再根据an＝Sn－Sn－1，得an＝8n－8，所以a10＝8×10－8＝72.

7．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为(　　)

A．8  B．7

C．6  D．5

答案　D

解析　S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.

8．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)

A．12  B．16

C．9  D．16或9

答案　C

解析　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180，得n<13且n∈N*.由n边形内角和定理，得(n－2)×180＝n×120＋×5，解得n＝16或n＝9，因为n<13，所以n＝9.

9．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)

A．174斤  B．184斤

C．191斤  D．201斤

答案　B

解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小分到的绵数，由题意知，数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝65＋7×17＝184.故选B.

10．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.

(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；

(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)证明：由题意，得an＝8－2n.

因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，

所以数列{an}是等差数列．

(2)由题意，得bn＝|8－2n|.

因为b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，

所以此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列．

所以当n≤4时，

Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n；

当n≥5时，

Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝12＋n2－7n＋12＝n2－7n＋24.故Sn＝

一、选择题

1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

答案　C

解析　由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.

或由解方程组求得d＝3.故选C.

2．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是(　　)

A．a8  B．a9

C．a10  D．a11

答案　D

解析　设抽取的项为ak，∵S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，∴d＝2，∵S11－ak＝4×10＝40，∴ak＝15，又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15，得k＝11.∴抽取的项为a11.

3．在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为(　　)

A．0  B．100

C．1000  D．10000

答案　D

解析　{an＋bn}的前100项的和为＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝50×200＝10000.

4．已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　)

A．500  B．600

C．700  D．800

答案　B

解析　由题意，可知公差最大时，M最大，公差最小时，m最小．公差最大时，a1＝1，a2＝5，此时公差d＝4，

M＝S15＝1×15＋×4＝435；

公差最小时，a2＝5，a5＝8，此时公差d＝1，

m＝S15＝4×15＋×1＝165.

M＋m＝435＋165＝600.

5．(多选)已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　　)

A．有最大值且是整数  B．有最小值且是整数

C．有最大值且是分数  D．无最大值

答案　BD

解析　易知数列{2n－19}的通项为an＝2n－19，

∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增等差数列．

令an＝0，得n＝9.

∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….

∴该数列前n项和Sn无最大值，有最小值，为S9＝9a1＋d＝－81.故选BD.

二、填空题

6．n阶幻方(n≥3，n∈N*)是由连续的正整数1,2,3，…，n2组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线上的n个数之和(简称幻和)相等，例如3阶幻方的幻和为15(如下表所示)，则5阶幻方的幻和为________．

答案　65

解析　1＋2＋3＋4＋…＋24＋25＝＝325，由n阶幻方(n≥3，n∈N*)的定义可得，5阶幻方的幻和为＝65.

7．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________．

答案　5

解析　由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个．

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．

答案　4

解析　∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，

∴即

∴

∴≤a4≤3＋d,5＋3d≤6＋2d，d≤1，

∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.

三、解答题

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝24，S11＝0，

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．

解　(1)依题意，∵a3＝24，S11＝0，∴a1＋2d＝24，a1＋5d＝0，

解得a1＝40，d＝－8，∴an＝48－8n.

(2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n，

∴Sn＝＝－4n2＋44n.

(3)由(2)有，Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－5.5)2＋121，

故当n＝5或n＝6时，Sn最大，且Sn的最大值为120.

10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个．

请您根据提供的信息，解决下列问题：

(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；

(3)哪一年的规模最大？请说明理由．

解　由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡的只数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10.

从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，

则cn＝anbn.

(1)由a1＝1，a6＝2，得∴⇒a2＝1.2；

由b1＝30，b6＝10，得∴⇒b2＝26.

∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2(万只)．

∴第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数为31.2万．

(2)c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，

∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．

(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1≤n≤6)，

bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，

∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．

∵对称轴为n＝2.25，∴当n＝2时，cn最大．

∴第2年的规模最大．