数学选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时当堂达标检测题

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4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和公式
A级　基础巩固
1.在等差数列{an}中,如果++2a3a8=9,且an<0,那么S10= (　　)
A.-9　　B.-11　　C.-13　　D.-15
解析:由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9.
因为an<0,所以a3+a8=-3,
所以S10====-15.
答案:D
2.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则λ的值为 (　　)
A.-2B.-1 C.0 D.1
解析:因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1.
答案:B
3.多选题等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有 (　　)
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
解析:由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8.又a3+a8+a13为定值,所以a8为定值.所以S15==15a8为定值,但a7=a8-d不是定值,S16==8(a8+a9)不是定值.
答案:BC
4.已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,若前n项和为200,则n=10.
解析:依题意得a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,
所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,
所以Sn=200=×n=20n,解得n=10.
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和,其首项a1>0,a99+a100>0,a99a100<0,则使Sn>0成立的最大自然数n为198.
解析:因为a99a100<0,所以a99和a100异号.因为a1>0,a99+a100>0,所以a99>0,a100<0,即a1+99d<0,所以d<0,所以2a1+198d<0,即a1+a199<0.
因为a99+a100>0,a99+a100=a1+a198,所以a1+a198>0,
所以S198=>0,S199=<0,
所以使Sn>0成立的最大自然数n=198.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=-5,S4=-24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=-9+2(n-1)=2n-11.
(2)由(1),知an=2n-11,令an=2n-11≤0,得n≤5.5,所以当n=5时,数列{an}的前n项和Sn取得最小值,即Sn的最小值为S5=5a1+10d=5×(-9)+2×10=-25.
B级　拓展提高
7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额=收入-成本),则n等于 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:设该设备第n年的运营费用为an万元,
则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n,
所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn==n2+n.
设第n年的盈利总额为Sn万元,
则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9,
所以年平均盈利额为万元,
所以当n=3时,年平均盈利额取得最大值.
答案:D
8.已知等差数列{an}的公差为d,若关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前n项和Sn取得最大值的正整数n的值为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],所以0,9分别是关于x的一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根,且d<0,所以-=9,即2a1+9d=0,所以a1=-.所以an=a1+(n-1)d=d,所以a5=-d>0,a6=d<0.所以使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
答案:B
9.已知正项数列{an}满足递推关系an=(n≥2),且a1=,若数列{bn}满足bn=,则++…+=2n2+6n.
解析:将an=两边取倒数,整理得-=2,所以是一个等差数列.又因为首项=4,公差为2,所以=4+(n-1)×2=2n+2,所以bn==4(n+1)2,所以=4n+4,所以数列是以8为首项,4为公差的等差数列,故++…+=8n+×4=2n2+6n.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S9=-a5.
(1)若a3=-4,求{an}的通项公式;
(2)若a1<0,求使Sn≤an的n的取值范围.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为S9=-a5,
所以9a5=-a5,所以a5=0,即a1+4d=0.
又因为a3=a1+2d=-4,所以解得
故an=2n-10.
(2)由Sn≤an,得n2+n≤dn+a1-d,
由(1),可知d=-a1,
所以a1n2-a1n+a1≥0.
因为a1<0,
所以n2-n+≤0,解得1≤n≤10,
故使Sn≤an的n的取值范围为[1,10],n∈N*.
11.已知数列{an}满足3a1+5a2+…+(2n+1)an=n·3n+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求证:数列{bn}的前n项和Tn<.
(1)解:当n≥2时,3a1+5a2+…+(2n-1)·an-1=(n-1)·3n,
所以(2n+1)an=n·3n+1-(n-1)·3n,解得an=3n.
当n=1时,3a1=32,即a1=3,满足an=3n,
所以数列{an}的通项公式为an=3n,n∈N*.
(2)证明:由题意,知bn===,
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=-.
因为+>0,
所以-<,即Tn<.

C级　挑战创新
12.多选题设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是 (　　)
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
解析:由S50.因为S6=S7,所以a7=0,所以d<0.当n≤6时,an>0,Sn随n的增大而增大;当n≥8时,an<0,Sn随n的增大而减小,所以S6与S7均为Sn的最大值,a8<0,所以S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=2a8<0,即S9 答案:ABD
13.多选题设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3=12,S12>0,a7<0,则 (　　)
A.a6>0
B.- C.当Sn<0时,n的最小值为14
D.数列中最小项为第7项
解析:依题意,得a3=a1+2d=12,a1=12-2d.
因为S12=×12=6(a6+a7)>0,a7<0,所以a6>0,A选项正确.
解得- 因为S13=×13=13a7<0,S12>0,所以当Sn<0时,n的最小值为13,C选项错误.
由上述分析可知,当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0;当1≤n≤12时,Sn>0,当n≥13时,Sn<0.所以当n∈[1,6]时,>0;当n∈[13,+∞)时,>0;当n∈[7,12]时,an<0,Sn>0,<0,且{|an|}为递增数列,{Sn}为递减数列,所以为递减数列,因为<0,所以随着n的增大,逐渐增大,所以数列中最小项为第7项,故D选项正确.
答案:ABD
14.多空题设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,S7=28,则an=n,的最大值是.
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=n,Sn==,
所以=.
令t=n+1,则t≥2,且t∈N*,
所以==.
因为函数y=t++7在区间(0,2)内单调递减,
在区间(2,+∞)上单调递增,
当t=3时,=,
当t=4时,=,
所以当t=3或t=4时,取得最大值,最大值为.