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初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品同步测试题
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这是一份初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品同步测试题，文件包含必刷提高练261反比例函数原卷版docx、必刷提高练261反比例函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第26章《反比例函数》
26.1 反比例函数
知识点01：反比例函数的图象
1．（2022秋•晋州市期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022秋•乳山市期中）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∴选项A不正确；
B、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∴选项B正确；
C、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∴选项C不正确；
D、由反比例函数得：b＜0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∴选项D不正确；
故选：B．
3．（2022秋•济阳区期中）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2019•海口模拟）反比例函数经过（﹣3，2），则图象在 二四 象限．
解：∵反比例函数经过（﹣3，2），
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴图象在二四象限，
故答案为二四．
5．（2019•江都区一模）我们已经知道，一次函数y＝x+1的图象可以看成由正比例函数y＝x的图象沿x轴向左平移1个单位得到；也可以看成由正比例函数y＝x的图象沿y轴向上平移1个单位得到．
（1）函数y＝的图象可以看成由反比例函数y＝的图象沿x轴向 右 平移1个单位得到；
（2）函数y＝2x+4的图象可以看成由正比例函数y＝2x图象沿x轴向 左 平移 2 个单位得到；
（3）如果将二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向右平移a（a＞0）个单位，再沿y轴向上平移2a个单位，得到y＝﹣x2+mx﹣15的图象，试求m的值．
解：（1）利用反比例函数图象的左右平移规律是左加右减，
函数y＝的图象可以看成由反比例函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位得到．
故答案是：右．
（2）利用一次函数图象的上下平移规律是上加下减，函数y＝2x+4的图象可以看成由正比例函数y＝2x图象沿x轴向左平移2个单位得到．
故答案是：左，2．
（3）利用二次函数图象的平移规律，y＝﹣x2向右平移a个单位，再向上平移2a个单位后可得：
y＝﹣（x﹣a）2+2a
与y＝﹣x2+mx﹣15对应后可得：
∵a＞0，
∴
故答案是：m＝10．
知识点02：反比例函数图象的对称性
6．（2021秋•新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．
∵正方形的对称中心是坐标原点O，
∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×4×4＝4，
∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，
∴阴影部分的面积＝4×2＝8．
故选：C．
7．（2017秋•连平县校级月考）对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
解：反比例函数y＝的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
8．（2021•茶陵县模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
9．（2021•保康县模拟）下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数y＝、y＝、y＝，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．
（1）绘制函数图象：
x
…
1
2
3
…
y＝
…
2
1
…
y＝
…
8
4
2
…
y＝
…
18
9
3
…
列表：如表是x与y的几组对应值．
描点：请根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数y＝和y＝（k1≠k2），它们的图象会不会相交： 不相交 ；你的理由是： 反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交 ．
解：（1）画出函数图象如图：
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数y＝和y＝（k1≠k2），它们的图象永远不会相交；理由是：反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
故答案为：不相交，反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
知识点03：反比例函数的性质
10．（2022秋•莱阳市期中）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣4）
B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大
D．y≤1时，x≤﹣8
解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣的图像经过点（2，﹣4），故不符合题意；
B、因为反比例函数y＝﹣ 中的k＝﹣8，所以图像分别在二、四象限，故不符合题意；
C、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，故不符合题意；
D、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故符合题意；
故选：D．
11．（2022秋•平桂区 期中）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限内
B．图象位于第一、三象限内
C．图象经过点（1，1）
D．在每个象限内，y 随x的增大而减小
解：A、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项符合题意；
B、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项不符合题意；
C、当x＝1时，y＝﹣1，图象经过点（1，﹣1），故本选项不符合题意；
D、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每个象限内，y 随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：A．
12．（2022•邯山区模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2）．B（1，0），C（3，1），D（2，3）．
（1）若点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，则k的整数值为 4，5 ；
（2）在经过这四个点中的三个点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a的最大值是 ．
解：（1）当双曲线y＝经过点C（3，1）时，k＝3×1＝3，
当双曲线y＝经过点D（2，3）时，k＝3×2＝6，
∵点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，
∴k的整数值为4，5；
（2）解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，
设二次函数为y＝ax2+bx+c，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点时，则，
解得a＝；
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得a＝；
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，且a＝．
故答案为：．
13．（2022•新会区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），OA绕点O逆时针旋转60°得到OB，连接AB，双曲线y＝（x＞0）分别与AB，OB交于点C，D（C，D不与点B重合）．若CD⊥OB，则k的值为 9 ．
解：作DE⊥x轴于点E，作CF⊥x轴于点F．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOA＝∠B＝∠BAO＝60°．
设OE＝a，则DE＝，OD＝2a．
∴BD＝10﹣2a，故点D坐标为（a，）．
∴BC＝＝2×（10﹣2a）＝20﹣4a，
∴AC＝10﹣（20﹣4a）＝4a﹣10．
∴FA＝AC•cos60°＝（4a﹣10）＝2a﹣5，CF＝AC•sin60°＝＝．
∴OF＝AO﹣FA＝10﹣2a+5＝15﹣2a．
故点C坐标为（15﹣2a，）．
∵点D、C在反比例函数图象上，
∴＝（15﹣2a）•．
解得：a1＝3，a2＝5（不合题意，舍去）．
∴a＝3，故点D坐标为（3，3），
∴＝．
故答案为：．
14．（2021秋•城固县期末）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x＝﹣6时反比例函数y的值．
解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
解得：k＞1；
（2）∵k＞1，
∴取k＝2，在反比例函数的表达式为y＝，
把x＝﹣6代入得，y＝＝﹣．
15．（2021•樊城区一模）小云同学根据函数的学习经验，对函数y＝进行探究，已知函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ ；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1
3
1
…
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有： ①②④ ；
①当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝﹣1轴对称；
④当x＝﹣1时，函数值y取得最大值．
（4）过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y有两个交点，则m的取值范围是 0＜m＜3 ．
由题意可得（﹣1，3）在反比例函数图象上，（5，1）在一次函数的图象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b＝，同理（1）可得（2）中的两空为1和；
（3）①在x≤﹣1时，为反比例函数在第二象限内的图象，此时y随x的增大而增大，故①正确；
②在x＞﹣1时，为一次函数的图象，∵，∴此时y随x的增大而减小，故②正确；
③结合图象可以得出该分段函数的图象没有对称轴（∵x≤﹣1时为曲线，x＞﹣1时为直线），故③错误
④结合图象可以得出x＝﹣1时，有最大值为3
（4）结合图象可以看出，当0＜m＜3时，直线l与该分段函数的图象有两个交点
知识点04：反比例函数系数k的几何意义
16．（2022春•邓州市期中）若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为1.5的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为×3＝1.5，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2××3＝3，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4××3＝6，故D不符合题意；
故选：B．
17．（2022•鹿城区校级开学）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
解：由于点A是反比例函数y＝图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
18．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 5 ．
解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB＝•|﹣1|+•|k|，
∴•|﹣1|+•|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝5．
故答案为：5．
19．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
20．（2017秋•十堰期末）如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第 三 象限，m的取值范围是 m＞7 ；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；
故答案是：三，m＞7；
（2）∵点A在第一象限，
∴AB⊥x轴，
∴S△OAB＝，
∴m﹣7＝6，
解得m＝13．
21．（2017•龙岩模拟）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
解：（1）把D（1，4）代入y＝得，k＝1×4＝4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC＝2CD＝2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k＝4，
∴y＝，
把x＝2代入y＝得y＝＝2，
∴E（2，2），
∴BE＝2，
∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4﹣1＝7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征
22．（2021秋•景德镇期末）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
解：∵反比例函数，
∴k＝m2+1＞0，双曲线过一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴0＞y1＞y2，
∵C（2，y3），
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
23．（2022秋•钢城区期中）已知反比例函数，则它的图象经过点（ ）
A．（2，8） B．（﹣1，4） C．（4，1） D．（2，﹣2）
解：∵k＝4
A、∵8×2＝16≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、∵﹣1×4＝﹣4≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、4×1＝4，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、2×（﹣2）＝﹣4≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
24．（2022秋•蓬莱区期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 60° ．
解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝3，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°．
25．（2022秋•如皋市期中）如图，四边形ABCD为矩形，AD∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，BC交y＝的图象于点E，若AD＝4，AB＝3，CE＝2，则m的值等于 ﹣ ．
解：设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为，即A（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点B的横坐标为a，
∴纵坐标为，
即B（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点D的纵坐标为，
∴横坐标为，
即D（，），
∴点E在反比例函数y＝的图象上，而点E的纵坐标为，
∴横坐标为，
即E（，）．
∴C（，），
又∵AB＝3，AD＝4，CE＝2，
∴﹣＝3，即m﹣n＝3a，①
﹣a＝4，即an﹣am＝4m，②
﹣＝2，即a（n﹣m）（n+m）＝2mn，③
由①②③可得m＝a＝﹣，
故答案为：﹣．
26．（2022秋•青浦区校级期中）若a和b是关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0的两个不相等实数根，且k是非负整数．
（1）求k的值；
（2）反比例函数y＝图象过点A（a，b）（其中a＞b），求m的值．
解：（1）∵a和b是关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0的两个不相等实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，
解得k＜1.5，
∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∵k是非负整数，
∴k＝0；
（2）原方程化为﹣x2+3＝0，
∴ab＝﹣3，
∵反比例函数y＝图象过点A（a，b）（其中a＞b），
∴m＝ab＝﹣3．
27．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求△OAC的周长．
解：把点B（2，6）代入反比例函数y＝得，
k＝2×6＝12；
如图，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、E，则OE＝6，BE＝2，
∵BE⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥BE，
又∵B为AC的中点．
∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，
把x＝4代入反比例函数y＝得，
y＝12÷4＝3，
∴点A（4，3），即OD＝3，
∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，
∴OC＝9，
即点C（0，9），
答：k＝12，C（0，9）；
（2）在Rt△AOD中，
OA＝＝＝5，
在Rt△ADC中，
AC＝＝＝2，
∴△AOC的周长为：2+5+9＝2+14．
28．（2022•肥西县一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
x
…
﹣1
0
2
3
…
y
…
m
0
﹣1
n
2
…
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ 3 ；
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注；图中小正方形网格的边长为1）．
（4）结合函数的图象，解决问题：当函数值+1＞时，x的取值范围是： 1＜x＜3 ．
解：（1）要使函数有意义，则x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
（2）当x＝﹣1时，m＝﹣+1＝，
当x＝时，n＝2+1＝3，
故答案为：，3；
（3）函数图象如图所示：
（4）根据图象可知，当函数值+1＞时，x的取值范围是：1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
知识点06：待定系数法求反比例函数解析式
29．（2022秋•永定区期中）如图，反比例函数在第一象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，已知△AOB的面积为3，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
解：∵反比例函数y＝的图象的一支在第一象限，
∴k＞0，
∵AB⊥x轴，垂足为B，△ABO的面积为3，
∴|k|＝2×3＝6，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
故选：B．
30．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA＝60°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y＝﹣．
故选：C．
31．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．
（1）反比例函数的解析式是 y＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是 ．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线y＝上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
故答案为：．
32．（2022•雁塔区校级模拟）如图，点A在x轴正半轴上，点C在y正半轴上，四边形OABC为矩形，点E是边BC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与边AB相交于点D，若矩形OABC的面积为8，则反比例函数的关系式为 y＝ ．
解：设点B的坐标是（a，b），
∵矩形OABC的面积为8，
∴ab＝8，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA（即BC∥x轴），
∵E为BC的中点，
∴CE＝a，
即点E的坐标是（a，b），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝a•b＝8＝4，
即反比例函数的关系式为y＝，
故答案为：y＝．
33．（2022秋•青浦区校级期中）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
（1）联结AO，当S△APO＝2时，求反比例函数的解析式；
（2）联结AO，若A（﹣1，2），y轴上是否存在点M，使得S△APM＝S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
（3）点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
解：（1）∵S△APO＝2，AP⊥y轴，
∴S△APO＝|k|＝2，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣1，2），
∴AP＝1，OP＝2，
∴S△APO＝＝1，
∴S△APM＝S△APO＝1，
∴PM•AP＝1，
∴PM＝2，
∴M（0，4）；
（3）当B点在P点右侧，如图，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（﹣3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（﹣3t，﹣），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（+）＝4，解得k＝﹣6；
当B点在P点左侧，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（3t，），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（﹣）＝4，解得k＝﹣12；
综上所述，k的值为﹣6或﹣12．
34．（2022•冷水滩区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．
解：（1）∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOD，
由旋转可知∠ABO＝∠CBD，
∴∠BOD＝∠CBD，
∴OD＝BD，
由旋转知OB＝BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴B（1，），
∵双曲线y＝经过点B，
∴k＝xy＝1×＝．
∴双曲线的解析式为y＝．
（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2OB，
由旋转知AB＝BC，
∴BC＝2OB，
∴OC＝OB，
∴点C（﹣1，﹣），
把点C（﹣1，﹣）代入y＝，
﹣＝﹣，
∴点C在双曲线上．
35．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）当x＝2时，y＝＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
知识点07：反比例函数与一次函数的交点问题
36．（2022•渠县二模）平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第一象限的交点为A，已知S△AOB＝，则b的值是（ ）
A． B．3 C．﹣3或 D．3或
解：设A（x，）（x＞0），
∵点A在直线y＝x+b上，
∴＝x+b，
∴b＝﹣x，
∵直线y＝x+b与y轴交于点B，
∴B（0，b），
∵S△AOB＝，
∴•|b|•x＝，即•|﹣x|•x＝，
∴x＝1或，
∴b＝﹣x＝3或﹣．
故选：D．
37．（2022秋•平桂区 期中）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：B．
38．（2022秋•嘉定区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线（m≠0）的一个交点，点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3，如果在直线y＝kx（k≠0）上有一点P，使得S△ABP＝2S△ABO，那么点P的坐标是 （2，﹣1）或（﹣6，3） ．
解：∵点A（﹣2，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线y＝（m≠0）的一个交点，
∴k＝﹣，m＝﹣2．
∴直线y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的另一个交点为C（2，﹣1）．
∵点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3，
∴B（﹣3，0），
由对称性可知：OA＝OC，
∴当点P与C重合时，S△ABP＝2S△ABO，此时P（2，﹣1）．
当点P在OA的延长线上时，P′A＝AC时，S△ABP＝2S△ABO，此时P′（﹣6，3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1）或（﹣6，3）；
故答案为：（2，﹣1）或（﹣6，3）．
39．（2022秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则S△COD＝ 8 ．
解：设直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得y＝x+，
∴直线与y＝x和y＝﹣x的交点分别为B点和A点，
∴OA＝＝4，OB＝＝8，
如图，连接OA与OB，并构造以OB为x′轴，OA为y′轴的平面直角坐标系x′Oy′，
∴在平面直角坐标系x′Oy′中，点A的坐标为（0，4），B点坐标为（8，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+4，
则8k+4＝0，
∴k＝x+4，
直线AB与曲线1联立，
得，
解得C点坐标为（2，3），D点坐标为（6，1），
∴S△BOD＝×OB×1＝4，
S△AOC＝×OA×2＝4，
S△AOB＝×OA×OB＝16，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOD＝16﹣4﹣4＝8．
故答案为：8．
40．（2022•肥东县校级模拟）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若BC＝2OA，则直线BC的解析式为 y＝﹣2x﹣6 ．
解：∵直线y＝﹣2x与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点A，
﹣2x＝﹣，
解得：x＝±2，
∴A的横坐标为﹣2，
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于F，过点C作CD⊥BD于D，则∠AEO＝∠D＝90°，
∵OA∥BC，
∴∠AOE＝∠BCD，
∴△AEO∽△BDC，
∴＝，
∵BC＝2OA，
∴CD＝OF＝2OE，
∴B的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入y＝﹣得，y＝2，
∴B（﹣4，2），
∵直线BC∥OA，
即将直线y＝﹣2x沿y轴向下平移m个单位长度，得到直线y＝﹣2x+m，
∴把B（﹣4，2）代入得：2＝8+m，
解得：m＝﹣6，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x﹣6．
故答案为：y＝﹣2x﹣6．
41．（2022•河南模拟）如图所示，直线y＝px+q与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣6，1），△AOB的面积为8．
（1）求反比例函数的关系式和直线AB的函数关系式；
（2）动点P在x轴上运动，当线段PB与PA之差最大时，求点P的坐标．
解：（1）将A（﹣6，1）代入中，得k＝﹣6×1＝﹣6．
∴反比例函数的关系式为；
如图所示，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，
设，则AG＝1，，GH＝m+6．
∵S△AOB+S△AOG＝S△BOH+S梯形BHGA，
∵S△OAG＝S△BOH＝|xy|＝×6＝3，
∴SAOB＝S梯形BHGA＝（AG+BH）•GH＝（1﹣）（m+6），
∵△AOB的面积为8，
∴（1﹣）（m+6）＝8，
∴m2﹣16m﹣36＝0，
解得m＝﹣2或m＝18，
∵点B在第二象限，
∴B（﹣2，3），
设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵A（﹣6，1），B（﹣2，3），
∴
解得
∴直线AB的解析式为y＝x+4；
（2）如图所示，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与x轴的交点时，PB﹣PA有最大值是AB，
把y＝0代入中，得x＝﹣8，
∴P（﹣8，0）．
42．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
解：（1）∵反比例函数y＝过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB＝＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8+）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2＝﹣（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第26章《反比例函数》
26.1 反比例函数
知识点01：反比例函数的图象
1．（2022秋•晋州市期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022秋•乳山市期中）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∴选项A不正确；
B、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∴选项B正确；
C、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∴选项C不正确；
D、由反比例函数得：b＜0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∴选项D不正确；
故选：B．
3．（2022秋•济阳区期中）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2019•海口模拟）反比例函数经过（﹣3，2），则图象在 二四 象限．
解：∵反比例函数经过（﹣3，2），
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴图象在二四象限，
故答案为二四．
5．（2019•江都区一模）我们已经知道，一次函数y＝x+1的图象可以看成由正比例函数y＝x的图象沿x轴向左平移1个单位得到；也可以看成由正比例函数y＝x的图象沿y轴向上平移1个单位得到．
（1）函数y＝的图象可以看成由反比例函数y＝的图象沿x轴向 右 平移1个单位得到；
（2）函数y＝2x+4的图象可以看成由正比例函数y＝2x图象沿x轴向 左 平移 2 个单位得到；
（3）如果将二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向右平移a（a＞0）个单位，再沿y轴向上平移2a个单位，得到y＝﹣x2+mx﹣15的图象，试求m的值．
解：（1）利用反比例函数图象的左右平移规律是左加右减，
函数y＝的图象可以看成由反比例函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位得到．
故答案是：右．
（2）利用一次函数图象的上下平移规律是上加下减，函数y＝2x+4的图象可以看成由正比例函数y＝2x图象沿x轴向左平移2个单位得到．
故答案是：左，2．
（3）利用二次函数图象的平移规律，y＝﹣x2向右平移a个单位，再向上平移2a个单位后可得：
y＝﹣（x﹣a）2+2a
与y＝﹣x2+mx﹣15对应后可得：
∵a＞0，
∴
故答案是：m＝10．
知识点02：反比例函数图象的对称性
6．（2021秋•新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．
∵正方形的对称中心是坐标原点O，
∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×4×4＝4，
∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，
∴阴影部分的面积＝4×2＝8．
故选：C．
7．（2017秋•连平县校级月考）对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
解：反比例函数y＝的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
8．（2021•茶陵县模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
9．（2021•保康县模拟）下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数y＝、y＝、y＝，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．
（1）绘制函数图象：
x
…
1
2
3
…
y＝
…
2
1
…
y＝
…
8
4
2
…
y＝
…
18
9
3
…
列表：如表是x与y的几组对应值．
描点：请根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数y＝和y＝（k1≠k2），它们的图象会不会相交： 不相交 ；你的理由是： 反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交 ．
解：（1）画出函数图象如图：
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数y＝和y＝（k1≠k2），它们的图象永远不会相交；理由是：反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
故答案为：不相交，反比例函数y＝和y＝，由于k1≠k2，所以当x相等时，各自对应的函数y一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
知识点03：反比例函数的性质
10．（2022秋•莱阳市期中）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣4）
B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大
D．y≤1时，x≤﹣8
解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣的图像经过点（2，﹣4），故不符合题意；
B、因为反比例函数y＝﹣ 中的k＝﹣8，所以图像分别在二、四象限，故不符合题意；
C、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，故不符合题意；
D、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故符合题意；
故选：D．
11．（2022秋•平桂区 期中）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限内
B．图象位于第一、三象限内
C．图象经过点（1，1）
D．在每个象限内，y 随x的增大而减小
解：A、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项符合题意；
B、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项不符合题意；
C、当x＝1时，y＝﹣1，图象经过点（1，﹣1），故本选项不符合题意；
D、因为k＝﹣1＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每个象限内，y 随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：A．
12．（2022•邯山区模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2）．B（1，0），C（3，1），D（2，3）．
（1）若点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，则k的整数值为 4，5 ；
（2）在经过这四个点中的三个点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a的最大值是 ．
解：（1）当双曲线y＝经过点C（3，1）时，k＝3×1＝3，
当双曲线y＝经过点D（2，3）时，k＝3×2＝6，
∵点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，
∴k的整数值为4，5；
（2）解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，
设二次函数为y＝ax2+bx+c，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点时，则，
解得a＝；
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得a＝；
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，且a＝．
故答案为：．
13．（2022•新会区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），OA绕点O逆时针旋转60°得到OB，连接AB，双曲线y＝（x＞0）分别与AB，OB交于点C，D（C，D不与点B重合）．若CD⊥OB，则k的值为 9 ．
解：作DE⊥x轴于点E，作CF⊥x轴于点F．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOA＝∠B＝∠BAO＝60°．
设OE＝a，则DE＝，OD＝2a．
∴BD＝10﹣2a，故点D坐标为（a，）．
∴BC＝＝2×（10﹣2a）＝20﹣4a，
∴AC＝10﹣（20﹣4a）＝4a﹣10．
∴FA＝AC•cos60°＝（4a﹣10）＝2a﹣5，CF＝AC•sin60°＝＝．
∴OF＝AO﹣FA＝10﹣2a+5＝15﹣2a．
故点C坐标为（15﹣2a，）．
∵点D、C在反比例函数图象上，
∴＝（15﹣2a）•．
解得：a1＝3，a2＝5（不合题意，舍去）．
∴a＝3，故点D坐标为（3，3），
∴＝．
故答案为：．
14．（2021秋•城固县期末）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x＝﹣6时反比例函数y的值．
解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
解得：k＞1；
（2）∵k＞1，
∴取k＝2，在反比例函数的表达式为y＝，
把x＝﹣6代入得，y＝＝﹣．
15．（2021•樊城区一模）小云同学根据函数的学习经验，对函数y＝进行探究，已知函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ ；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1
3
1
…
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有： ①②④ ；
①当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝﹣1轴对称；
④当x＝﹣1时，函数值y取得最大值．
（4）过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y有两个交点，则m的取值范围是 0＜m＜3 ．
由题意可得（﹣1，3）在反比例函数图象上，（5，1）在一次函数的图象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b＝，同理（1）可得（2）中的两空为1和；
（3）①在x≤﹣1时，为反比例函数在第二象限内的图象，此时y随x的增大而增大，故①正确；
②在x＞﹣1时，为一次函数的图象，∵，∴此时y随x的增大而减小，故②正确；
③结合图象可以得出该分段函数的图象没有对称轴（∵x≤﹣1时为曲线，x＞﹣1时为直线），故③错误
④结合图象可以得出x＝﹣1时，有最大值为3
（4）结合图象可以看出，当0＜m＜3时，直线l与该分段函数的图象有两个交点
知识点04：反比例函数系数k的几何意义
16．（2022春•邓州市期中）若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为1.5的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为×3＝1.5，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2××3＝3，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4××3＝6，故D不符合题意；
故选：B．
17．（2022•鹿城区校级开学）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
解：由于点A是反比例函数y＝图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
18．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 5 ．
解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB＝•|﹣1|+•|k|，
∴•|﹣1|+•|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝5．
故答案为：5．
19．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
20．（2017秋•十堰期末）如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第 三 象限，m的取值范围是 m＞7 ；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；
故答案是：三，m＞7；
（2）∵点A在第一象限，
∴AB⊥x轴，
∴S△OAB＝，
∴m﹣7＝6，
解得m＝13．
21．（2017•龙岩模拟）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
解：（1）把D（1，4）代入y＝得，k＝1×4＝4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC＝2CD＝2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k＝4，
∴y＝，
把x＝2代入y＝得y＝＝2，
∴E（2，2），
∴BE＝2，
∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4﹣1＝7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征
22．（2021秋•景德镇期末）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
解：∵反比例函数，
∴k＝m2+1＞0，双曲线过一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴0＞y1＞y2，
∵C（2，y3），
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
23．（2022秋•钢城区期中）已知反比例函数，则它的图象经过点（ ）
A．（2，8） B．（﹣1，4） C．（4，1） D．（2，﹣2）
解：∵k＝4
A、∵8×2＝16≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、∵﹣1×4＝﹣4≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、4×1＝4，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、2×（﹣2）＝﹣4≠4，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
24．（2022秋•蓬莱区期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 60° ．
解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝3，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°．
25．（2022秋•如皋市期中）如图，四边形ABCD为矩形，AD∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，BC交y＝的图象于点E，若AD＝4，AB＝3，CE＝2，则m的值等于 ﹣ ．
解：设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为，即A（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点B的横坐标为a，
∴纵坐标为，
即B（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点D的纵坐标为，
∴横坐标为，
即D（，），
∴点E在反比例函数y＝的图象上，而点E的纵坐标为，
∴横坐标为，
即E（，）．
∴C（，），
又∵AB＝3，AD＝4，CE＝2，
∴﹣＝3，即m﹣n＝3a，①
﹣a＝4，即an﹣am＝4m，②
﹣＝2，即a（n﹣m）（n+m）＝2mn，③
由①②③可得m＝a＝﹣，
故答案为：﹣．
26．（2022秋•青浦区校级期中）若a和b是关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0的两个不相等实数根，且k是非负整数．
（1）求k的值；
（2）反比例函数y＝图象过点A（a，b）（其中a＞b），求m的值．
解：（1）∵a和b是关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0的两个不相等实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，
解得k＜1.5，
∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∵k是非负整数，
∴k＝0；
（2）原方程化为﹣x2+3＝0，
∴ab＝﹣3，
∵反比例函数y＝图象过点A（a，b）（其中a＞b），
∴m＝ab＝﹣3．
27．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求△OAC的周长．
解：把点B（2，6）代入反比例函数y＝得，
k＝2×6＝12；
如图，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、E，则OE＝6，BE＝2，
∵BE⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥BE，
又∵B为AC的中点．
∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，
把x＝4代入反比例函数y＝得，
y＝12÷4＝3，
∴点A（4，3），即OD＝3，
∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，
∴OC＝9，
即点C（0，9），
答：k＝12，C（0，9）；
（2）在Rt△AOD中，
OA＝＝＝5，
在Rt△ADC中，
AC＝＝＝2，
∴△AOC的周长为：2+5+9＝2+14．
28．（2022•肥西县一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
x
…
﹣1
0
2
3
…
y
…
m
0
﹣1
n
2
…
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ 3 ；
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注；图中小正方形网格的边长为1）．
（4）结合函数的图象，解决问题：当函数值+1＞时，x的取值范围是： 1＜x＜3 ．
解：（1）要使函数有意义，则x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
（2）当x＝﹣1时，m＝﹣+1＝，
当x＝时，n＝2+1＝3，
故答案为：，3；
（3）函数图象如图所示：
（4）根据图象可知，当函数值+1＞时，x的取值范围是：1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
知识点06：待定系数法求反比例函数解析式
29．（2022秋•永定区期中）如图，反比例函数在第一象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，已知△AOB的面积为3，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
解：∵反比例函数y＝的图象的一支在第一象限，
∴k＞0，
∵AB⊥x轴，垂足为B，△ABO的面积为3，
∴|k|＝2×3＝6，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
故选：B．
30．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA＝60°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y＝﹣．
故选：C．
31．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．
（1）反比例函数的解析式是 y＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是 ．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线y＝上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
故答案为：．
32．（2022•雁塔区校级模拟）如图，点A在x轴正半轴上，点C在y正半轴上，四边形OABC为矩形，点E是边BC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与边AB相交于点D，若矩形OABC的面积为8，则反比例函数的关系式为 y＝ ．
解：设点B的坐标是（a，b），
∵矩形OABC的面积为8，
∴ab＝8，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA（即BC∥x轴），
∵E为BC的中点，
∴CE＝a，
即点E的坐标是（a，b），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝a•b＝8＝4，
即反比例函数的关系式为y＝，
故答案为：y＝．
33．（2022秋•青浦区校级期中）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
（1）联结AO，当S△APO＝2时，求反比例函数的解析式；
（2）联结AO，若A（﹣1，2），y轴上是否存在点M，使得S△APM＝S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
（3）点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
解：（1）∵S△APO＝2，AP⊥y轴，
∴S△APO＝|k|＝2，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣1，2），
∴AP＝1，OP＝2，
∴S△APO＝＝1，
∴S△APM＝S△APO＝1，
∴PM•AP＝1，
∴PM＝2，
∴M（0，4）；
（3）当B点在P点右侧，如图，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（﹣3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（﹣3t，﹣），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（+）＝4，解得k＝﹣6；
当B点在P点左侧，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（3t，），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（﹣）＝4，解得k＝﹣12；
综上所述，k的值为﹣6或﹣12．
34．（2022•冷水滩区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．
解：（1）∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOD，
由旋转可知∠ABO＝∠CBD，
∴∠BOD＝∠CBD，
∴OD＝BD，
由旋转知OB＝BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴B（1，），
∵双曲线y＝经过点B，
∴k＝xy＝1×＝．
∴双曲线的解析式为y＝．
（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2OB，
由旋转知AB＝BC，
∴BC＝2OB，
∴OC＝OB，
∴点C（﹣1，﹣），
把点C（﹣1，﹣）代入y＝，
﹣＝﹣，
∴点C在双曲线上．
35．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）当x＝2时，y＝＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
知识点07：反比例函数与一次函数的交点问题
36．（2022•渠县二模）平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第一象限的交点为A，已知S△AOB＝，则b的值是（ ）
A． B．3 C．﹣3或 D．3或
解：设A（x，）（x＞0），
∵点A在直线y＝x+b上，
∴＝x+b，
∴b＝﹣x，
∵直线y＝x+b与y轴交于点B，
∴B（0，b），
∵S△AOB＝，
∴•|b|•x＝，即•|﹣x|•x＝，
∴x＝1或，
∴b＝﹣x＝3或﹣．
故选：D．
37．（2022秋•平桂区 期中）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：B．
38．（2022秋•嘉定区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线（m≠0）的一个交点，点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3，如果在直线y＝kx（k≠0）上有一点P，使得S△ABP＝2S△ABO，那么点P的坐标是 （2，﹣1）或（﹣6，3） ．
解：∵点A（﹣2，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线y＝（m≠0）的一个交点，
∴k＝﹣，m＝﹣2．
∴直线y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的另一个交点为C（2，﹣1）．
∵点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3，
∴B（﹣3，0），
由对称性可知：OA＝OC，
∴当点P与C重合时，S△ABP＝2S△ABO，此时P（2，﹣1）．
当点P在OA的延长线上时，P′A＝AC时，S△ABP＝2S△ABO，此时P′（﹣6，3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1）或（﹣6，3）；
故答案为：（2，﹣1）或（﹣6，3）．
39．（2022秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则S△COD＝ 8 ．
解：设直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得y＝x+，
∴直线与y＝x和y＝﹣x的交点分别为B点和A点，
∴OA＝＝4，OB＝＝8，
如图，连接OA与OB，并构造以OB为x′轴，OA为y′轴的平面直角坐标系x′Oy′，
∴在平面直角坐标系x′Oy′中，点A的坐标为（0，4），B点坐标为（8，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+4，
则8k+4＝0，
∴k＝x+4，
直线AB与曲线1联立，
得，
解得C点坐标为（2，3），D点坐标为（6，1），
∴S△BOD＝×OB×1＝4，
S△AOC＝×OA×2＝4，
S△AOB＝×OA×OB＝16，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOD＝16﹣4﹣4＝8．
故答案为：8．
40．（2022•肥东县校级模拟）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若BC＝2OA，则直线BC的解析式为 y＝﹣2x﹣6 ．
解：∵直线y＝﹣2x与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点A，
﹣2x＝﹣，
解得：x＝±2，
∴A的横坐标为﹣2，
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于F，过点C作CD⊥BD于D，则∠AEO＝∠D＝90°，
∵OA∥BC，
∴∠AOE＝∠BCD，
∴△AEO∽△BDC，
∴＝，
∵BC＝2OA，
∴CD＝OF＝2OE，
∴B的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入y＝﹣得，y＝2，
∴B（﹣4，2），
∵直线BC∥OA，
即将直线y＝﹣2x沿y轴向下平移m个单位长度，得到直线y＝﹣2x+m，
∴把B（﹣4，2）代入得：2＝8+m，
解得：m＝﹣6，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x﹣6．
故答案为：y＝﹣2x﹣6．
41．（2022•河南模拟）如图所示，直线y＝px+q与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣6，1），△AOB的面积为8．
（1）求反比例函数的关系式和直线AB的函数关系式；
（2）动点P在x轴上运动，当线段PB与PA之差最大时，求点P的坐标．
解：（1）将A（﹣6，1）代入中，得k＝﹣6×1＝﹣6．
∴反比例函数的关系式为；
如图所示，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，
设，则AG＝1，，GH＝m+6．
∵S△AOB+S△AOG＝S△BOH+S梯形BHGA，
∵S△OAG＝S△BOH＝|xy|＝×6＝3，
∴SAOB＝S梯形BHGA＝（AG+BH）•GH＝（1﹣）（m+6），
∵△AOB的面积为8，
∴（1﹣）（m+6）＝8，
∴m2﹣16m﹣36＝0，
解得m＝﹣2或m＝18，
∵点B在第二象限，
∴B（﹣2，3），
设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵A（﹣6，1），B（﹣2，3），
∴
解得
∴直线AB的解析式为y＝x+4；
（2）如图所示，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与x轴的交点时，PB﹣PA有最大值是AB，
把y＝0代入中，得x＝﹣8，
∴P（﹣8，0）．
42．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
解：（1）∵反比例函数y＝过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB＝＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8+）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2＝﹣（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
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