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    初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀精练

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    这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀精练,文件包含必刷提高练281锐角三角函数原卷版docx、必刷提高练281锐角三角函数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。

    2022-2023学年九年级数学册考点必刷练精编讲义(人教版)提高

    28章《锐角三角函数

    28.1 锐角三角函数

    知识点01:锐角三角函数的定义

    1.(2022秋•宝安区校级期中)△ABC中,∠C90°,AB13BC5tanB的值是(  )

    A B C D

    解:如图:

    ∵∠C90°,BC5AB13

    AC12

    tanB

    故选:D

    2.(2022秋•荔城区校级月考)在RtABC中,∠C90°,AB5AC4,下列四个选项,正确的是(  )

    A B C D

    解:如图,∵∠C90°,AB5AC4

    BC3

    tanB,所以A选项不符合题意;

    tanA,所以B选项不符合题意;

    sinB,所以C选项符合题意;

    cosB,所以D选项不符合题意.

    故选:C

    3.(2022秋•姑苏区校级期中)在直角三角形中,若各边都扩大为原来的2倍,则其锐角的三角函数值(  )

    A.都扩大为原来的2 B.都缩小为原来的一半 

    C.都没有变化 D.不能确定

    解:根据锐角三角函数的概念,知

    如果各边都扩大原来的2倍,则其锐角的三角函数值不变.

    故选:C

    4.(2022•扬州)在△ABC中,∠C90°,abc分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2ac,则sinA的值为  . 

    解:在△ABC中,∠C90°,

    c2a2+b2

    b2ac

    c2a2+ac

    等式两边同时除以ac得:

    +1

    x,则有x+1

    x2+x10

    解得:x1x2(舍去),

    x时,x0

    x是原分式方程的解,

    sinA

    故答案为:

    5.(2022•昭阳区一模)如图,RtABC中,∠C90°,AC2BC,则cosB的值为   

     

    解:在RtABC中,∠C90°,AC2BC

    ∴设BCx,则AC2x

    ABx

    cosB

    故答案为:

    6.(2021秋•井研县期末)如图,已知RtABC中,∠C90°,AC3BC4,则sinB  

    解:在RtABC中,AC3BC4

    AB5

    sinB

    故答案为:

    7.(2015秋•醴陵市校级月考)已知,如图RtABC中,AB8BC6,求sinAtanA

    解:在RtABC中,由勾股定理,得

    AC10

    sinA

    tanA

    8.(2022•淮北模拟)在△ABC中,BC2AB12,∠ABCαBD是∠ABC的角平分线,以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC,连接DE

    1)求证:CD2AD

    2)当α90°时,求DE的长;

    3)当0°<α180°时,求DE的最大值.

    1)证明:如图,过点DDOBCAB于点O

    ∴∠ODB=∠CBD

    BD是角平分线,

    ∴∠OBD=∠CBD

    ∴∠OBD=∠ODB

    OBOD

    ODBC

    ,△AOD∽△ABC

    CD2AD

    解:(2)如图,过点DDOBCAB于点O

    α90°时,BD平分∠ABC

    ∴∠DBC=∠OBD45°,∠DOB90°,

    ∵△BEC为等腰直角三角形,BC12

    ∴∠EBC45°,BE6

    ∴∠DBE90°,

    由(1)可得AB6

    OB4

    BD4

    DE2

    3)如图,过点DDOBCAB于点ODEBC于点F

    BC中点为点G,连接EG

    BG6

    α变化时,OB的长度不变,

    ∴点O在以点B为圆心,半径为4的圆弧上,

    令圆弧与BC交于点F

    BF4

    此时,点D在以点F为圆心,半径为4的圆弧上,

    当点DEF三点共线时,DE最大,

    GFBGBF2

    EF2

    DE的最大值=DF+FE2+4

    9.(2018•青浦区二模)如图,在RtABC中,∠C90°,AC3BC4,∠ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD2DE,连接AE

    1)求线段CD的长;

    2)求△ADE的面积.

    解:(1)过点DDHAB,垂足为点H

    BD平分∠ABC,∠C90°,

    DHDCx

    AD3x

    ∵∠C90°,AC3BC4

    AB5

    ,即CD

    2

    BD2DE

    知识点02:同角三角函数的关系

    10.(2021秋•邵东市期末)在△ABC中,∠C90°,已知tanA,则cosA=(  )

    A B C D

    解:在△ABC中,∠C90°,

    tanA

    BC3k,则AC4k

    AB5k

    cosA

    故选:B

    11.(2021秋•南岗区校级月考)在RtABC中,∠C90°,sinA,则tanA的值为(  )

    A B C D

    解:∵∠C90°,sinA

    ∴设BC2kAB3k

    ACk

    tanA

    故选:D

    12.(2021秋•瑶海区校级月考)在RtABC中,∠C90°,sinA,则tanA=(  )

    A B C D

    解:∵∠C90°,sin2A+cos2A1

    cosA

    tanA

    故选:D

    13.(2021•蒙阴县模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC90°,若sinA,则cosBCD的值为  

    解:∵在RtACB中,∠ACB90°,sinA

    ∴设BC3xAB5x

    由勾股定理得:AC4x

    cosA

    ∵∠ACB=∠ADC90°,

    ∴∠A+B=∠B+BCD90°,

    ∴∠A=∠BCD

    cosBCDcosA

    故答案为:

    14.(2020•浙江自主招生)已知:实常数abcd同时满足下列两个等式:asinθ+bcosθc0acosθbsinθ+d0(其中θ为任意锐角),则abcd之间的关系式是: a2+b2c2+d2 

    解:由 asinθ+bcosθc

    两边平方,a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθc2

    acosθbsinθ=﹣d

    两边平方,a2cos2θ+b2sin2θ2absinθcosθd2

    +

    a2sin2θ+cos2θ+b2sin2θ+cos2θ)=c2+d2

    a2+b2c2+d2

    故答案为:a2+b2c2+d2

    15.(2018•姜堰区二模)若tanα10°<α90°),则sinα  

    解:∵tanα10°<α90°),

    ∴∠α45°,

    sinα

    故答案为

    16.(2015秋•迎泽区校级期末)在RtABC中,∠C90°,若sinA.求cosAsinBtanB的值.

    解:∵sinA

    ∴设AB13xBC12x

    由勾股定理得:AC5x

    cosA

    sinBcosA

    tanB

    17.(2009秋•滁州期末)若α为锐角,tanα4,求的值.

    解:由tanα4知,如果设a4x,则bx,结合a2+b2c2cx

    sinαcosα

    =﹣

    18.(2008秋•闸北区校级期末)对于同一锐角α有:sin2α+cos2α1,现锐角A满足sinA+cosA

    试求:(1sinAcosA的值;(2sinAcosA的值.

    解:(1)∵sinA+cosA

    sin2A+cos2A+2sinAcosA

    1+2sinAcosA

    sinAcosA

     

    2)∵(sinAcosA2sin2A+cos2A2sinAcosA

    1

    sinAcosA=±

    知识点03:互余两角三角函数的关系

    19.(2021秋•雁江区期末)如图,在RtABC中,∠C90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为abc,则下列结论中不正确的是(  )

    Aa2+b2c2 BsinBcosA 

    C Dsin2A+cos2A1

    解:在RtABC中,∠C90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为abc

    由勾股定理可得a2+b2c2,因此选项A不符合题意;

    由锐角三角函数的定义可得sinBcosA,因此选项B不符合题意;

    由锐角三角函数的定义可知,tanA,因此选项C符合题意;

    由于sin2A+cos2A=(2+21,因此选项D不符合题意;

    故选:C

    20.(2021秋•滦州市期末)在RtABC中,∠C90°,cosA,则tanB=(  )

    A B C D

    解:在RtABC中,∠C90°,cosA

    AC4aAB5a

    BC3a

    tanB

    故选:B

    21.(2021秋•合肥期末)如图,在△ABC中,∠C90°,若sinB,则sinA=(  )

    A B C D

    解:在△ABC中,∠C90°,sinB

    ∴设AC4aAB5a

    BC3a

    sinA

    故选:A

    22.(2020秋•富川县期末)如果∠A是锐角,∠A+B90°,且sinA,那么cosB  

    解:∵∠A+B90°,

    cosBsinA

    故答案为:

    23.(2020秋•中方县期末)在直角△ABC中,∠C90°,sinA,则cosB  

    解:在直角△ABC中,∠C90°,

    sinAcosB

    所以cosB

    故答案为:

    知识点04:特殊角的三角函数值

    24.(2022秋•丰泽区校级月考)在△ABC中,若sinAcosB,∠A,∠B都是锐角,则∠C的度数是(  )

    A105° B90° C75° D120°

    解:∵sinAcosB,∠A,∠B都是锐角,

    ∴∠A45°,∠B60°.

    ∴∠C180°﹣(∠A+B)=75°.

    故选:C

    25.(2022•石家庄模拟)下列说法中正确的是(  )

    A.在RtABC中,若,则a4b3 

    B.在RtABC中,∠C90°,若a3b4,则 

    Ctan30°+tan60°=1 

    Dtan75°=tan45°+30°)=tan45°+tan30°=1+

    解:A、在RtABC中,∠C90°,若,则a3xb4xx0,故A不符合题意;

    B、在RtABC中,∠C90°,若a3b4,则,故B符合题意;

    Ctan30°+tan60°=+,故C不符合题意;

    Dtan75°=tan45°+30°)=2+,故D不符合题意;

    故选:B

    26.(2021秋•市中区期末)若锐角α满足tanα,则角α=(  )

    A30° B45° C60° D90°

    解:若锐角α满足tanα,则角α60°,

    故选:C

    27.(2020秋•紫金县期末)已知αβ均为锐角,且满足|cosα|+0,则α+β的度数为  120° 

    解:由题意得,cosα0tanβ0

    解得,α60°,β60°,

    α+β的度数为120°,

    故答案为:120°.

    28.(2020秋•隆回县期末)在RtABC中,∠C90°,ACBC,那么sinA  

    解:由RtABC中,∠C90°,ACBC,得

    A45°.

    sinAsin45°

    故答案为:

    29.(2021春•凉州区校级期中)在△ABC中,∠A,∠B为锐角,sinAtanB.则△ABC的形状为 等腰三角形 

    解:在△ABC中,

    ∵∠A,∠B为锐角,sinAtanB

    ∴∠A30°,∠B30°,

    则∠C120°,

    故△ABC为等腰三角形.

    故答案为:等腰三角形.

    30.(2021•佛冈县校级模拟)在△ABC中,|cosA|+1tanB20,则∠C的度数是  75° 

    解:∵|cosA|+1tanB20

    cosA01tanB0

    cosAtanB1

    ∴∠A60°,∠B45°,

    ∴∠C180°﹣60°﹣45°=75°.

    故答案为:75°.

    31.(2019秋•工业园区期末)计算:tan45°﹣4sin30°cos230°.

    解:原式=14××(2

    1

    =﹣

    32.(2020秋•瑶海区校级月考)计算:+sin45°.

    解:原式=+

    1+

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