人教版九年级下册26.1.1 反比例函数习题

第1课  反比例函数

知识点01  反比例函数的定义

一般地，形如           (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

要点诠释：

（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是      ，函数的取值范围是.故函数图象与        无交点.

（2） ()可以写成       ()的形式，自变量的指数是  ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数      这一条件.

（3） ()也可以写成  的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

知识点02  确定反比例函数的关系式

    确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道        或        ，即可求出的值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

　 （1）设所求的反比例函数为： ()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值； 

（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.

知识点03  反比例函数的图象和性质

　　1、 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有        个分支，这两个分支分别位于第        象限或第        象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

要点诠释：

（1）若点()在反比例函数的图象上，则点(        )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于        对称；

（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

 3、反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第        象限，在每个象限内，值随值的增大而        ；

　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第        象限，在每个象限内，值随值的增大而        ；

要点诠释：

反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

知识点04  比例系数K的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为        .

过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为        .

     要点诠释：

只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

考法01   反比例函数定义

【典例1】当为何值时是反比例函数？

考法02  确定反比例函数解析式

【典例2】正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）．

（1）求出点A的坐标；

（2）求反比例函数关系式．

【即学即练1】

已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．

(1) 与之间的函数关系式；

(2)自变量的取值范围；

(3)当＝4时，的值．

考法03  反比例函数的图象和性质

【典例3】正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2       B．x＜﹣2或0＜x＜2

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2   D．﹣2＜x＜0或x＞2

【即学即练2】

已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（　　）个．

 A.4       B. 3        C. 2      D. 1  

考法04  反比例函数综合

如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．

【即学即练3】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

题组A  基础过关练

1. 在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是（   ）

 A．   B．   C．   D．

2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是(     ) ．

A.     B.    C.     D.

3. 已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是(     ).

A. 第一象限    B. 第二象限     C. 第三象限    D. 第四象限

4. 在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（    ）.

A．<<    B．<<    C．<<    D．<<

5. 如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

 A.2      B.3          C.4      D.5

6. 如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（　　）

A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6

题组B  能力提升练

7. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________（用“＜”连接）.

8. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数（＞0）的图象上，则点C的坐标为　_________　．

9. 已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数y=y1+y2的图象经过点（1，2），（2，），则8k1+5k2的值为　　．

10.已知A（），B（）都在 图象上．若，则的值为　_________　．

11. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（＞0）的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则

＝ ________.         

12. 如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，， 作轴的平行线，与反比例函数＝（＞0）的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________.

题组C  培优拔尖练

13.已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．

（1）求该函数的解析式；

（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．

14. 如图所示，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M(，)(在A点左侧)是双曲线上的动点．过点B作BD∥轴交于x轴于点D．过N(0，－)作NC∥轴交双曲线于点E，交BD于点C．

(1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及的值．

(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

15.如图，已知点A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积，

（3）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）；

（4）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．