初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数26.2 实际问题与反比例函数优秀同步练习题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数26.2 实际问题与反比例函数优秀同步练习题，文件包含必刷提高练262实际问题与反比例函数原卷版docx、必刷提高练262实际问题与反比例函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第26章《反比例函数》
26.2 实际问题与反比例函数

知识点01：根据实际问题列反比例函数关系式
1．（2018•金华一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）
体积x（mL）
100
80
60
40
20
压强y（kPa）
60
75
100
150
300
A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y＝
解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y＝，
则xy＝k＝6000，
故y与x之间的关系的式子是y＝，
故选：D．
2．（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　）
A．v＝320t B．v＝ C．v＝20t D．v＝
解：由题意vt＝80×4，
则v＝．
故选：B．
3．（2017春•灌云县月考）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
则y关于x的函数关系式是　y＝　．
解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y＝，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400＝，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y＝．
故答案为：y＝．
4．某公司有500吨煤，这些煤所用天数y（天）与平均每天用煤量x（吨）的函数解析式为　y＝　，自变量x的取值范围是　x＞0　．
解：根据题意可得：
y＝（0＜x）
故答案为：y＝，x＞0．
5．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
6．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）

解：（1）设，
由题意知，
所以k＝96，
故；

（2）当v＝1m3时，；

（3）当p＝140kPa时，．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
知识点02：反比例函数的应用
7．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当I＜0.25时，R＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
8．（2022秋•如皋市期中）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y＝（x＞0），
所以函数图象大致是D．
故选：D．
9．（2022秋•温江区校级期中）秋冬流行的呼吸道、胃肠道传染病容易引起大面积传染，请同学们注意保持教室开窗透气，勤洗手．我校也高度重视病毒消杀工作，每周周末会对教室进行消毒．现测得周末教室内不同时刻的含药量y与时间x的数据如表：
时间x（分钟）
0
2
4
6
8
10
12
16
20
含药量y（毫克）
0
1.5
3
4.5
6
4.8
4
3
2.4
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，
则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，
解得：k＝，
故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），
由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，
则将（12，4）代入得：a＝48，
故函数解析式为：y＝（x≥8）．
故函数图象C正确．
故选：C．
10．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 　400　Pa．

解：设p＝，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p＝，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），
故答案为：400．
11．（2022•青岛一模）如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要 　　h．

解：设双曲线的解析式为v＝，
∵A（40，1）在双曲线上，
∴1＝．
∴k＝40，
∴双曲线的解析式为v＝，
∵≤80，
∴t≥，
即该汽车通过这段公路最少需要h．
故答案为：．
12．（2022春•钱塘区期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 　20≤R≤60　．
解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
13．（2022•景县一模）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下去．
（1）t的值为 　50　．
（2）如果在0～t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 　20　分钟．

解：（1）当25≤x≤t时，设第一次循环过程中反比例函数表达式为y＝，
由题意得，70＝，
∴m＝1750，
∴y＝，
∴当y＝35时，t＝50，
∴t的值是50．
故答案为：50；
（2）当0≤x≤25时，设第一次循环过程中一次函数表达式为y＝kx+b，
将（0，20），（25，70）代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为y＝2x+20；
∴当y＝50，则2x+20＝50，解得：x＝15；
当y＝50，＝50，解得：x＝35，
∴在0～t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为35﹣15＝20（分钟）．
故答案为：20．
14．（2021秋•郾城区期末）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），那么开机后50分钟时，水的温度是 　80　℃．

解：当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得 ，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝
依据题意，得：100＝，
即m＝800，
故y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：t＝40；
∵50﹣40＝10＞8，
∴当x＝10时，y＝＝80，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃，
故答案为：80．
15．（2021秋•长沙期中）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝　0.68　kg/m3．
解：设ρ与V的函数关系式为ρ＝，
当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，
∴1.36＝，
∴k＝1.36×20＝27.2，
∴ρ与V的函数关系式是ρ＝；
当V＝40m3时，ρ＝＝0.68（kg/m3）．
故答案为：0.68．
16．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
17．（2022•金乡县二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系．
（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出自变量x的取值范围）
（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？
（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数．

解：（1）∵y与x满足反比例函数关系，
∴设，将点（2，100）代入，
解得k＝200，
∴．
（2）设该车队每天至少要运送m吨物资，
则5m≥200，
则m≥40，
∴该车队每天至少要运送40吨物资．
（3）设该车队原计划每天运送的货物n吨，
则实际每天运送的货物为（1+25%）n吨，
根据题意列方程得，
，
解得n＝40，
经检验，n＝40是原方程的根，
∴原计划每天运送货物40吨，实际每天运送货物50吨，
∴实际完成运送任务的天数是＝4（天）．
18．（2021秋•新都区期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；
（2）当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．

解：（1）设改造前y与x的函数关系式为y＝，把x＝1，y＝180代入得，k＝180，
∴改造前y与x之间的函数关系式为y＝，
把x＝6代入得y＝＝30，
由题意设6月份以后y与x的函数关系式为y＝30x+b，
把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6+b，
∴b＝﹣150，
∴改造后y与x之间的函数关系式为y＝30x﹣150；
（2）对于y＝，y＝90时，x＝2，
∵k＝180＞0，y随x的增大而减小，
∴x＞2时，y＜90，
对于y＝30x﹣150，当y＝90时，x＝8，
∵k＝10＞0，y随x的增大而增大，
∴x＜8时，y＜90，
∴2＜x＜8时，月利润少于90万元，
∴该工厂资金紧张期共有5个月．
19．（2022春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
（1）猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（2）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
（3）将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？

解：（1）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y＝（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）把y＝24代入y＝得：x＝12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
（3）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
∴应添加砝码．
20．（2022•思明区校级模拟）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？

解：（1）如图所示：

（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设 y＝（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（3）把y＝24代入y＝ 得：x＝12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
21．（2020秋•河东区期末）如图，取一根长1米长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
L/cm
1
10
15
20
25
30
35
40
45
F/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当L＝　1　cm时的数据是错了；
（2）被墨水涂黑了的数据你认为大概是 　6.1　；
（3）你能求出F与L的函数关系式吗？
（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．

解：根据杠杆原理知 F•L＝25×9.8．
（1）当L＝1cm时，F＝245牛顿．所以表格中数据错了；
（2）当L＝40cm时，F＝245÷40≈6.1（牛顿 ）．故答案为 6.1；
（3）F＝，（0＜L≤50）．
（4）函数图象如图：

22．（2019•安次区一模）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x天销售量为p件，销售单价为q元，经跟踪调查发现，这40天中p与x的关系保持不变，前20天（包含第20天），q与x的关系满足关系式q＝30+ax；从第21天到第40天中，q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x成反比．且得到了表中的数据．
X（天）
10
21
35
q（元/件）
35
45
35
（1）请直接写出a的值为　0.5　；
（2）从第21天到第40天中，求q与x满足的关系式；
（3）若该网店第x天获得的利润y元，并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝﹣x2+15x+500
i请直接写出这40天中p与x的关系式为：　p＝50﹣x　；
ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？
解：（1）由表格可知：当x＝10时，q＝35，
代入q＝30+ax中得：35＝30+10a，a＝0.5，
故答案为：0.5；
（2）设从第21天到第40天中，q与x满足的关系式：q＝b+，
把（21，45）和（35，35）代入得：，
解得：，
∴q＝20+；
（3）i，前20天（包含第20天）：y＝﹣x2+15x+500＝p（q﹣20）＝p（30+0.5x﹣20），
x2﹣30x﹣1000＝p（﹣x﹣20），
（x﹣50）（x+20）＝p（﹣x﹣20），
p＝50﹣x，
故答案为：p＝50﹣x；
ii，当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，
当x＝15时，y有最大值是612.5；
当21≤x≤40时，y＝（50﹣x）（20+﹣20）＝﹣525，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝21时，y有最大值，是725，（11分）
综上所述，这40天里该网店第21天获得的利润最大．
23．（2019•云南模拟）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求0到2小时期间y随x的函数解析式；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，代入（0，10），和（2，20），得
，解得，
0到2小时期间y随x的函数解析式y＝5x+10；

（2）把y＝15代入y＝5x+10，即5x+10＝15，解得x1＝1，
把y＝15代入y＝，即15＝，解得x2＝16，
∴16﹣1＝15，
答：恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时