高考数学二轮复习题海集训15 古典概率与几何概率（30题含答案）

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2020高考数学(理数)题海集训15 古典概率与几何概率 一         、选择题1.下列概率模型中，古典概型的个数为(　　)①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内随机抛掷一点P，求点P恰与点C重合的概率；③从1,2,3,4四个数中任取两个数，求所取两数之积是2的概率；④在[0,5]上任取一个数x，求x＜2的概率．A．0　　           B．1           C．2               D．3  2.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)A．2－       B．4－        C．4－         D．4  3.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为(    )A、                                          B、                                          C、                                          D、4.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为(　　)A.            B.          C.           D.  5.如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP=AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为(　　)A.           B.          C.           D.  6.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽到6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品、以上四个事件中，随机事件的个数是(    )A、3                                                                    B、4                                                                     C、2                                                                      D、1  7.甲、乙、丙三名公务员随机分到A，B两个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，则每个村至少有一名公务员的概率为（　　）A.                           B.                             C.                            D.8.长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为(　　)A.　　       B.          C.          D. 9.从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是(    )A、                                                    B、                                                   C、                                                       D、10.掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的概率是(   )A、        B、        C、        D、11.将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是(    )A、                                                                   B、                                                     C、                                                     D、912.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)A．p1=p2         B．p1=p3                   C．p2=p3         D．p1=p2＋p3  13.一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是(　　)A.              B．              C.               D． 14.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为(　　)A.              B．              C.              D． 15.下列试验能构成事件的是(    )A、掷一次硬币                                                                                                          B、射击一次C、标准大气压下，水烧至100℃                                   D、摸彩票中头奖16.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为(　　)A.           B.           C.            D.  17.《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)A.            B.        C．1－         D．1－ 18.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜概率为(　　)A.             B．          C.              D． 19.已知函数f(x)=x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)A.            B.           C.            D. 20.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)A.            B.            C.           D. 二         、填空题21.已知函数y=2＋|x|－1，其中1≤m，n＜4，m，n∈N*且m≠n，则该函数为偶函数概率为________．  22.在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________________。 23.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___________________。24.4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是        ；男、女各排在一起的概率是       ；男女间隔排列的概率是25.已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。26.某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．  27.口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．   28.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．  29.甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．  30.某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，则所抽的2人来自同一排的概率是________．  
答案解析1.答案为：B.解析：①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件的总数都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型．  2.答案为：B；解析：设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24×=4πr2－6r2，圆的面积S′=πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4－，故选B.  3.D4.答案为：C；解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C=36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C=4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为=，选C.  5.答案为：A；解析：设OA=3，则AB=3，AP=，由余弦定理可求得OP=，则∠AOP=30°，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为=.  6.C7.A.8.答案为：B；解析：从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P===.故选B.  9.B10.B11.A12.答案为：A；解析：法一：∵S△ABC=AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2=AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2=AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2=BC2，∴SⅠ=AB·AC，SⅢ=BC2－AB·AC，SⅡ=－=AB·AC.∴SⅠ=SⅡ.由几何概型概率公式得p1=，p2=，∴p1=p2.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，则BC=2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1=×2×2=2，区域Ⅱ的面积S2=π×12－=2，区域Ⅲ的面积S3=－2=π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1=p2=，p3=，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.  13.答案为：B.解析：3卷文集随机排列的情况有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种情况，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是=.  14.答案为：C.解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C=36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C=4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为=，选C.  15.D16.答案为：B；解析：基本事件总数n=34=81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=CA=36，故这三个项目都有人参加的概率为P===.  17.答案为：D；解析：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r=17，解得r=3.∴内切圆的面积为πr2=9π，∴豆子落在内切圆外的概率P=1－=1－.  18.答案为：B.解析：齐王的马获胜概率为=，故选B.  19.答案为：D；解析：f′(x)=x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ=(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为=.  20.答案为：B；解析：从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为=，故选B.   一         、填空题21.答案为：；解析：(m，n)所取的值有6种等可能的结果：(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，使函数为偶函数的(m，n)所取的值有(1,2)，(3,2)，共2种，所以所求概率为=.  22.0.00523.0．624.，，25.26.答案为：；解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P==.  27.答案为：；解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为=.  28.答案为：；解析：设污损处的数字为m，由(84＋85＋87＋90＋m＋99)=(86＋87＋91＋92＋94)，得m=5，即当m=5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m=6,7,8,9时，甲＞乙，故所求概率为=.  29.答案为：；解析：两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a－b|≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为=.  30.答案为：0.2；解析：某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，基本事件总数n=15，所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=CC=3，则所抽的2人来自同一排的概率是P===.