高考数学二轮复习题海集训31 椭圆（30题含答案）

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2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆 一         、选择题1.与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)A.＋=1         B．x2＋=1        C.＋y2=1          D.＋=1 2.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)A.               B．             C.               D． 3.设椭圆C： =1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为(　　)                                          A.           B.                       C.                     D.4.设椭圆的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为(　　)A.3                                               B.3或1.5                                 C.1.5                                              D.6或3 5.椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)A.＋=1         B.＋y2=1         C.＋=1          D.＋=1 6.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若=2，则椭圆的离心率是(　　)A.            B.          C.              D. 7.已知P为椭圆＋=1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2=1和圆(x－3)2＋y2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．5           B．7           C．13        D．15 8.曲线＋=1与曲线＋=1(k＜9)的(　　)A．长轴长相等　　    　B．短轴长相等     C．离心率相等        D．焦距相等 9.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)A.＋=1               B．＋=1或＋=1C.＋=1              D．＋=1或＋=1 10.已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋=1的两个焦点，P在椭圆上且满足·=c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)A.         B.        C.           D. 11.已知椭圆C:的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为(　　) A.                                                  B.                                     C.                                                 D.12.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2=0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)A.             B.             C.            D. 13.已知F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)=0(O为坐标原点)，若||=||，则椭圆的离心率为(　　)A.－        B.          C.－        D. 14.已知F1，F2分别是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)A.            B.         C.            D. 15.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)A．5             B．4          C．3             D．2   16.已知点P是椭圆＋=1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·=0，则||的取值范围是(　　)A．[0,3)　　      　B．(0,2)     C．[2，3)         D．(0,4] 17.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为(　　)A.＋=1          B.＋=1      C.＋=1          D.＋=1 18.斜率为1的直线l与椭圆＋y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)A．2             B.             C.           D. 19.设P为椭圆C：＋=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)A．24            B．12           C．8             D．6 20.已知椭圆(0<b<2)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是(　　)A.1                           B.                            C.1.5                                     D.二         、填空题21.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________． 22.设e是椭圆＋=1的离心率，且e=，则实数k的值是________． 23.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2:,则椭圆C的方程是　　　　　　　　. 24.设F1，F2是椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，则△PF1F2的面积为________． 25.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为　　　　　　.  26.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______． 27.椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________． 28.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________． 29.设F1,F2分别是椭圆C:(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为　　　　.  30.设F1，F2分别是椭圆＋=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．  
答案解析1.答案为：B； 2.答案为：A.解析：因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC=，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋=1，所以5e2＋2e－3=0，又0＜e＜1，所以e=.故选A. 3.D.                                          4.答案为：C；5.答案为：C；由条件可知b=c=，a=2，所以椭圆的标准方程为＋=1.故选C. 6.答案为：D；∵=2，∴||=2||.又∵PO∥BF，∴==，即=，∴e==. 7.答案为：B；由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|=10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2=7. 8.答案为：D；曲线＋=1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋=1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为 .对照选项，知D正确．故选D. 9.答案为：B.解析：因为a=4，e=，所以c=3，所以b2=a2－c2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋=1或＋=1.10.答案为：B；设P(x，y)，则＋=1，y2=b2－x2，－a≤x≤a，=(－c－x，－y)，=(c－x，－y)．所以·=x2－c2＋y2=x2＋b2－c2=x2＋b2－c2.因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.所以2c2≤a2≤3c2.所以≤≤.故选B. 11.答案为：B； 12.答案为：B；由已知可得圆D：(x－a)2＋y2=a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x=代入圆D的方程得y=±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋=1，所以a2=b2=a2－c2，解得a=2c，所以椭圆C的离心率e==. 13.答案为：A；以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)=0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴||=||，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|=x，则|PF1|=x，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得∴e===－.故选A. 14.答案为：C；如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e=∈. 15.答案为：A；∵椭圆的方程为＋=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|=4，∴|PB|=4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5. 16.答案为：B；如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵·=0，∴⊥.又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|=|PG|，且M为F1G的中点．∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.∵|F2G|=||PF2|－|PG||=||PF1|－|PF2||，∴||=|2a－2|PF2||=|4－|PF2||.∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，∴||∈(0,2)． 17.答案为：C；由题意知双曲线x2－y2=1的渐近线方程为y=±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为2，所以点(，)在椭圆上，所以＋=1.                            ①又椭圆的离心率为，所以=，所以a2=2b2.              ②由①②得a2=6，b2=3，所以椭圆C的方程为＋=1.故选C. 18.答案为：C；设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y=x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)=0，则x1＋x2=－t，x1x2=.∴|AB|=|x1－x2|=·=· =·，当t=0时，|AB|max=.19.答案为：C；∵P为椭圆C：＋=1上一点，|PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|＋|PF2|=2a=14，∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵|F1F2|=2c=2=10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2=3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C. 20.答案为：D；21.答案为：；解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是. 22.答案为：或；解析：当k＞4 时，有e= =，解得k=；当0＜k＜4时，有e= =，解得k=.故实数k的值为或. 23.答案为：+=1；24.答案为：24；解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24. 25.答案为：+=1；26.答案为：；解析：设椭圆的方程为＋=1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1. 27.答案为：－1；解析：设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F=，∴|AF|=|AF′|，|FF′|=2|AF′|，因此椭圆C的离心率为===－1. 28.答案为：0.5；解析：因为椭圆＋=1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直线BF1的方程是y=x＋b，OT的方程是y=－x.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－.由AT⊥BF1得，－×=－1，∴3b2=4ac＋c2，∴3(a2－c2)=4ac＋c2，∴4e2＋4e－3=0，又0＜e＜1，所以e=0.5. 29.答案为：；30.答案为：15；解析：在椭圆＋=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|=|PM|＋(2a－|PF2|)=10＋(|PM|－|PF2|)．∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号， ∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max==5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5=15.