人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时练习题

这是一份人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时练习题，共5页。试卷主要包含了设直线l等内容，欢迎下载使用。
3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线的几何性质及应用
A级　基础巩固
1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 (　　)
A.y2=x B.x2=3y
C.x2=y D.y2=3x
解析:因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
答案:B
2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于a2+2a+3(a∈R),则这样的直线 (　　)
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有一条或两条 D.不存在
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=xA+xB+p=a2+2a+5=(a+1)2+4≥4,而通径的长为4,所以有1条或2条.
答案:C
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
A.-, B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:由题意,得准线方程为x=-2,所以Q(-2,0).设直线l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k≠0时,Δ≥0,-1≤k0,b>0)的两条渐近线与抛物线C2:y2=2px(p>0)交于A,O,B三点(O为坐标原点),且直线AB经过抛物线C2的焦点,则该双曲线的离心率为 (　　)
A. B.
C.3 D.5
解析:由题意,得A,B关于x轴对称,设点A在x轴上方,可得A,因为双曲线的两条渐近线方程为bx-ay=0,bx+ay=0,点A在双曲线的渐近线上,且在x轴上方,所以点A在直线bx-ay=0上,将点A的坐标代入得-pa=0,即b=2a,可得c2-a2=4a2,所以双曲线的离心率为e==.
答案:B
9.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=8.
解析:分别过点A,B,P作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,Q(图略),根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.
10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|·|BF|的最小值是4.
解析:由题意,知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
当AB所在直线的斜率k存在时,设AB所在直线的方程为y=k(x-1),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=1.
依据抛物线的定义,得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1,
所以|AF|·|BF|=+2=4+>4.
当AB所在直线的斜率k不存在时,|AF|·|BF|=2×2=4.
综上所述,|AF|·|BF|的最小值是4.
11.在平面直角坐标系中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C上存在相异的两点P和Q关于直线l对称,求p的取值范围.
解:(1)因为直线x-y-2=0与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线的焦点为(2,0),所以=2,即p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设点P,Q,
故kPQ==.
又因为P,Q关于直线l对称,
所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,
所以(x1+x2)=(y1+y2)+2,即x1+x2=4-2p.
又因为x1+x2=,
所以+=8p-4p2,故y1y2=4p2-4p.
所以y1,y2是关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0的两个不同的实数根,
因此Δ=(2p)2-4(4p2-4p)>0,
解得0