人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时综合训练题，共3页。试卷主要包含了已知点A,B，根据下列条件求抛物线的标准方程，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质
A级　基础巩固
1.已知A,B为抛物线y2=2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4,则直线AB的斜率为 (　　)
A. B.- C.-2 D.2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,由得=2,即4kAB=2,所以kAB=.
答案:A
2.若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为 (　　)
A.相交 B.相离
C.相切 D.不确定
解析:设PF的中点M(x0,y0),作MN⊥y轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=(|OF|+x1)==|PF|.故相切.
答案:C
3.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线y2=x上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由题意可得,AB=2,AB所在直线的方程为x+y-2=0.
设点C的坐标为(m2,m),则点C到直线AB的距离d=.由于△ABC的面积为2,故×2×=2,化简可得|m2+m-2|=2,
所以m2+m-2=2①,或m2+m-2=-2②.
解①求得m=或m=;
解②求得m=0或m=-1.
综上可得,使得△ABC的面积为2的点C的个数为4.
答案:D
4.(2020新高考山东卷)若斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=.
解析:由题意可得抛物线C的焦点为F(1,0),p=2,所以斜率为的直线的方程为y=(x-1),
把直线的方程代入y2=4x并化简,得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=.
5.若正三角形的一个顶点位于原点O,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且该正三角形的边长为8,则p=2.
解析:设正三角形的另两个顶点为A,B.根据抛物线的对称性可知,正三角形OAB的另两个顶点A,B关于x轴对称,设A,则由正三角形的边长为8,可得解得p=2.
6.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
解:(1)将双曲线方程化为标准方程-=1,得左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0),且=-3,所以p=6,
所以抛物线方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),点A的坐标为(m,-3).由抛物线定义,得5=|AF|=,结合(-3)2=2pm,得p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
B级　能力提升
7.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为 (　　)
A.1
B.1或3
C.2
D.2或6
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).由|AF|+|BF|=4,得xA++xB+=4,即xA+xB=4-p,所以2x中=4-p.因为线段AB的中点到直线x=的距离为1,所以=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.
答案:B
8.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+= (　　)
A.2 B.1C. D.
解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=k(x-1),
由方程组得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=4+.同理可得|CD|=4+4k2,所以+=+=.
答案:D
9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(1, a)(a>0)在抛物线C上,若直线AF与抛物线C交于另一点B,则|AB|的值是 (　　)
A.12 B.10
C.9 D.4.5
解析:因为A(1, a)(a>0)在抛物线C:y2=8x上,所以a2=8,解得a=2或a=-2(舍去),即A(1,2),故直线AF的方程为y=-2(x-2).
由消去y,得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,所以点B的坐标为(4,-4),
则|AB|==9.
答案:C
10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(m,3)到焦点F的距离为4,直线l过点M(0,3)且与抛物线C交于A,B两点,|BF|=5,若|AM|=λ|BM|,则λ=.
解析:由题意,知3+=4,得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y,所以F(0,1).
因为|BF|=5,所以点B的坐标为(4,4)或(-4,4),
当点B的坐标为(4,4)时,直线l的方程为y=x+3,与x2=4y联立可得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3,
所以点A的坐标为,
所以==,所以λ=.
同理,当点B的坐标为(-4,4)时,λ=.
11.多空题抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=4,m=±2.
解析:由题意,得a>0,且
所以
12.多空题已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,若它的准线过点(2,1),则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
解析:根据抛物线关于x轴对称,设其方程为y2=mx,又由其准线过点(2,1),得其准线为直线x=2,则-=2,解得m=-8,则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
解:(1)由题意,得3+=5,所以p=4,
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1),知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,即=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
即所求点M的轨迹方程为y2=4x-4.

C级　挑战创新
14.已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为,0,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)在抛物线上找一点M,使M到直线x-y+3=0的距离最小,求出M的坐标及距离的最小值.
解:(1)设抛物线上任一点P(x,y),则
|PA|2=+y2=+2x=+,x≥0.
所以当x=0时,|PA=,所以|PA|min=,故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).
(2)设点M(x0,y0)是抛物线y2=2x上任意一点,则点M到直线x-y+3=0的距离d===,
当y0=1时,dmin==,
所以点M的坐标为.