高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时课后作业题，共5页。试卷主要包含了过双曲线C1，如图,已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线的几何性质及应用
A级　基础巩固
1.若斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
解析:因为斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,所以>,所以e==>,所以双曲线离心率的取值范围是(,+∞).
答案:D
2.过双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为 (　　)
A.+1 B.
C. D.
解析:设双曲线的右焦点为F1,由题意,得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,所以b=2a,则e===.
答案:C
3.经过双曲线-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由双曲线方程-y2=1,可得a=2,b=1.若直线AB只与双曲线右支相交,则AB的最小值是=1.因为|AB|=4>1,所以此时有两条直线符合条件.若直线AB与双曲线两支都有交点,则AB的最小距离是2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有1条直线符合条件.综上可得,共有3条直线符合条件.
答案:B
4.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点,则k的取值范围是-1 解析:由消去y,得(1-k2)x2+2kx-5=0,依题意,得
解得-1 5.若直线y=x-4与双曲线-=1相交于A,B两点,则|AB|=2.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线方程y=x-4代入-=1,整理,得2x2-24x+57=0,则有x1+x2=12,x1x2=.由弦长公式,得|AB|=·=×=2.
6.求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线方程.
解:由题意,设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
联立方程组,得
消去y,得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).
设直线被双曲线截得的弦为AB,
且A(x1,y1),B(x2,y2),
则
所以|AB|==
==.
解得λ=4,经检验,λ=4符合题意,
所以所求双曲线方程是-y2=1.
B级　能力提升
7.在双曲线-=1中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是 (　　)
A.8x-9y=7 B.8x+9y=25
C.4x+9y=6 D.不存在
解析:因为点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性,知当直线斜率不存在时,不符合题意.假设直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k2≠0,则Δ=(36k2-18k)2-4×(4-9k2)×(-36k2+36k-45)>0.设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2==4,解得k=,代入Δ,得Δ<0,故不存在满足条件的直线.
答案:D
8.如图,已知双曲线C:-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为 (　　)

A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点.又因为OM⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因为∠F1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan 60°=,即双曲线C的渐近线方程为y=±x.
答案:B
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线的左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为+1.
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意,知直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=.由对称性,可知x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=.设F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故·=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得-6-3=0,解得=3+2或=3-2(舍去).故离心率e===+1.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与该双曲线的右支交于A,B两点,△ABF1的周长为7a,则该双曲线的离心率的取值范围是.
解析:设|AF2|=m,|BF2|=n.由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m,
|BF1|=2a+n,则△ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=
4a+2|AB|=7a,所以|AB|=a.令x=c,可得y=±b=±,则|AB|的最小值为,即有a≥,可得≤,则e==≤ =.又因为e>1,所以1 11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1的渐近线相同,且经过点(2,3).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为π,且与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积.
解:(1)设所求双曲线C的方程为-=λ(λ<0),
将点(2,3)代入方程,得-=λ,解得λ=-,
所以双曲线C的方程为-=-,即x2-=1.
(2)由(1),知F1(-2,0),F2(2,0).由题意,知直线AB的方程为y=2-x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y,得2x2+4x-7=0,且Δ=16+56>0,
所以x1+x2=-2,x1x2=-.
由弦长公式,得|AB|=×=6,
点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d==2,
所以=|AB|·d=×6×2=6.
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,右顶点为(1,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线y=-x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,R,且=2,求m的值.
解:(1)因为e==2,a=1,所以c=2,b=.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设点Q的横坐标为xQ,点R的横坐标为xR.
根据平行线分线段成比例定理,得==2,
联立消去y,得2x2+2mx-3-m2=0,对于任意m,Δ>0.
由题意,得xQ<0 所以xQ=,
xR=,
则==
=2,
解得m=1或m=-1(舍去).故m=1.
C级　挑战创新
13.多选题若双曲线C过点(3,),且它的渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　　)
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的离心率为
C.曲线y=ex+2-1经过双曲线C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点
解析:A项,设双曲线C的方程为3x2-9y2=λ(λ≠0),将点(3,)代入方程,得λ=9,所以双曲线方程为-y2=1,所以该选项正确;
B项,因为双曲线C的方程为-y2=1,所以双曲线的离心率为e==,所以该选项不正确;
C项,由双曲线C的方程为-y2=1,得它的一个焦点为(-2,0),把点(-2,0)代入y=ex+2-1,得0=e0-1,等式成立,所以该选项正确;
D项,联立消去y,得x2+6x-15=0,Δ=96>0,所以直线x-2y-1=0和双曲线C有两个公共点,所以该选项正确.
答案:ACD
14.多选题已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为 30°,则 (　　)
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
解析:A项,因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2=30°,
所以cos ∠PF1F2==,
所以c=a,所以离心率e=,故此选项正确.
B项,因为e2=1+==3,所以=2,所以=±,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故此选项正确.
C项,因为2c=2a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以∠PF2F1=90°,又因为|AF2|=c+a=(+1)a,|PF2|=2a,所以|AF2|≠|PF2|,所以∠PAF2≠45°,故此选项错误.
D项,因为c=a,所以b2=2a2.
联立消去x,
得2(2-2y)2-y2=2a2,
所以7y2-16y+8-2a2=0.
因为Δ=162-4×7×(8-2a2)=32+56a2>0,
所以直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,
故此选项正确.
答案:ABD