高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习，共4页。试卷主要包含了已知抛物线C，以抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．1
【答案】C 【解析】由题意得|AB|＝2p＝8.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝( )
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B 【解析】由题意得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，因为过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以|AB|＝x1＋x2＋2.又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C 【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝ eq \f(p,2)，代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又因为|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝ eq \f(1,2)×6×12＝36.
4．(2023年安庆模拟)设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值是( )
A． eq \f(3,4)B．－ eq \f(3,4)C．3 D．－3
【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝ty＋ eq \f(1,2)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋\f(1,2)，,y2＝2x，))得y2－2ty－1＝0，所以y1y2＝－1.又因为x1＝ eq \f(y12,2)，x2＝ eq \f(y22,2)，所以x1x2＝ eq \f((y1y2)2,4)＝ eq \f(1,4).所以 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝ eq \f(1,4)－1＝－ eq \f(3,4).
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝( )
A．1 B． eq \r(2) C．2 eq \r(2) D．3
【答案】C 【解析】双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－ eq \r(2)，0)，故抛物线y2＝2px的准线为x＝－ eq \r(2)，所以 eq \f(p,2)＝ eq \r(2)，所以p＝2 eq \r(2).
6．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( )
A． eq \f(π,6)或 eq \f(5π,6)B． eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,3)或 eq \f(2π,3)D． eq \f(π,2)
【答案】B 【解析】抛物线的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)).由题意知弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，与方程y2＝6x联立得4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝ eq \f(3k2＋6,k2).所以x1＋x2＋3＝ eq \f(3k2＋6,k2)＋3＝12.所以k2＝1，所以k＝±1.故弦所在直线的倾斜角是 eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4).
7．(多选)(2023年长沙长郡中学期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为 eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．|BF|＝2
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
【答案】ACD 【解析】如图，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为 eq \r(3)，则直线l的方程为y＝ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝ eq \f(3,2)p，xB＝ eq \f(1,6)p，由|AF|＝ eq \f(3,2)p＋ eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2，A正确；由p＝2，得抛物线C的方程为y2＝4x，xB＝ eq \f(1,3)，则|BF|＝ eq \f(1,3)＋1＝ eq \f(4,3)，B错误；|BD|＝ eq \f(|BF|,cs 60°)＝ eq \f(8,3)，所以|BD|＝2|BF|，C正确；|BD|＋|BF|＝ eq \f(8,3)＋ eq \f(4,3)＝4，则F为AD的中点，D正确．故选ACD.
8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
【答案】2 【解析】因为y2＝4x，所以p＝2，F(1，0).又因为|AF|＝2，所以xA＋ eq \f(p,2)＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1.故AB⊥x轴，点F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.
9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12 eq \r(2)，则p＝________．
【答案】2 【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－ eq \f(p,2)＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋ eq \f(p2,4)＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p.直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD|＝ eq \f(\r(2),2)|AB|＝ eq \f(\r(2),2)×4p＝2 eq \r(2)p，梯形面积为 eq \f(1,2)(|BC|＋|AD|)×|CD|＝ eq \f(1,2)×3p×2 eq \r(2)p＝3 eq \r(2)p2＝12 eq \r(2)，解得p＝2.
10．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2 eq \r(6)，|DE|＝2 eq \r(10)，求p的值．
解：如图，|AB|＝2 eq \r(6)，|AM|＝ eq \r(6)，|DE|＝2 eq \r(10)，|DN|＝ eq \r(10)，|ON|＝ eq \f(p,2)，
所以xA＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)))\s\up12(2),2p)＝ eq \f(3,p).
因为|OD|＝|OA|，
所以 eq \r(|ON|2＋|DN|2)＝ eq \r(|OM|2＋|AM|2)，
所以 eq \f(p2,4)＋10＝ eq \f(9,p2)＋6，解得p＝ eq \r(2).
B级——能力提升练
11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，O为坐标原点，OB的中点为M，过点M作MN⊥FA，垂足为N，则( )
A．p＝2B．点A的坐标为(4，4)
C．点M的坐标为(0，4) D．点N的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5)))
【答案】ABD 【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－ eq \f(p,2)，于是4＋ eq \f(p,2)＝5，∴p＝2，A正确；抛物线方程为y2＝4x，将x＝4代入，解得y＝±4，∴A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)，B正确，C错误；∵F(1，0)，∴kFA＝ eq \f(4,3)，∵MN⊥FA，∴kMN＝－ eq \f(3,4)，∴FA的方程为y＝ eq \f(4,3)(x－1)①， MN的方程为y－2＝－ eq \f(3,4)x②，联立①②，解得x＝ eq \f(8,5)，y＝ eq \f(4,5)，∴N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5)))，D正确．
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． eq \f(3\r(3),4)B． eq \f(9\r(3),8)C． eq \f(63,32)D． eq \f(9,4)
【答案】D 【解析】易知抛物线中p＝ eq \f(3,2)，焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝ eq \f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝ eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－ eq \f(21,2)x＋ eq \f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(21,2)＋ eq \f(3,2)＝12，结合图象可得点O到直线AB的距离d＝ eq \f(p,2)·sin 30°＝ eq \f(3,8)，所以△OAB的面积S＝ eq \f(1,2)|AB|·d＝ eq \f(9,4).
13．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是________．
【答案】(1，2)或(1，－2) 【解析】因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y02,4)，y0))，则 eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y02,4)，y0))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y02,4)，－y0))，由 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
14．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________；若直线l经过点F，且与抛物线x2＝y相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为__________.
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) 1 【解析】抛物线的焦点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，其准线方程为y＝－ eq \f(1,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋ eq \f(1,4).当k＝0时，y1＝y4＝ eq \f(1,4)，此时|AB|＝y1＋y2＋p＝ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,2)＝1；当k≠0时，由y＝kx＋ eq \f(1,4)，得x＝ eq \f(y－\f(1,4),k)，与x2＝y联立，化简得(k2－1)y2＋ eq \f(1,2)y－ eq \f(1,16)＝0，所以y1＋y2＝ eq \f(\f(1,2),1－k2)＞ eq \f(1,2)，此时|AB|＝y1＋y2＋p＞1，所以|AB|min＝1.
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
(1)解：由抛物线的定义，得|AF|＝2＋ eq \f(p,2).
因为|AF|＝3，即2＋ eq \f(p,2)＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 eq \r(2).
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 eq \r(2)).
由A(2，2 eq \r(2))，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2 eq \r(2)(x－1).
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)(x－1)，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝ eq \f(1,2)，从而B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2))).
因为G(－1，0)，
所以kGA＝ eq \f(2\r(2)－0,2－(－1))＝ eq \f(2\r(2),3)，kGB＝ eq \f(－\r(2)－0,\f(1,2)－(－1))＝－ eq \f(2\r(2),3).
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF.
所以点F到直线GA，GB的距离相等．
故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．