高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线一等奖作业ppt课件

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02和抛物线有关的轨迹方程
1.掌握抛物线的几何性质及其简单应用．2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．3. 掌握抛物线中的定值与定点问题．
y2=2px(p＞0)
y2=-2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=-2py(p＞0)
四种抛物线及其标准方程
直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
思路：证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
(1)求点P的轨迹方程；
解　过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
解　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程.
例7. 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
思路分析:(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点,以x=-1为准线的抛物线;(2)设l1,l2的方程,联立方程组消元解出A,B的坐标,代入斜率公式计算kAB.
(1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.
∴直线AB的斜率为定值-1.
定值与定点问题的求解策略1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；
解　依题意，设AB的方程为x＝my＋2，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
证明　设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
解决抛物线综合问题的基本策略对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论.
1.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线
解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为A.y2＝12x B.y2＝－12xC.x2＝12y D.x2＝12y
解析　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
3.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2).
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
4.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离,从而可表示出△PAB的面积,再求最大值即可.
1.知识清单：(1)和抛物线有关的轨迹问题.(2) 抛物线的综合问题.2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.