3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程
A级　基础巩固
1.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线的标准方程是　　 (　　)
A.y2=21x　　　　　　　B.x2=12y
C.y2=x D.x2=y
解析:由焦点是F(0,3),可设标准方程为x2=2py(p>0),由题意,得=3,即p=6,所以抛物线标准方程为x2=12y.
答案:B
2.若抛物线y=的焦点坐标为(0,-1),则a的值等于 (　　)
A.4 B.-4
C. D.-
解析:抛物线y=的标准方程为x2=ay,其焦点坐标为.由题意可知=-1,解得a=-4.
答案:B
3.(2020全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:因为A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,且抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,
所以9+=12,解得p=6.故选C.
答案:C
4.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 (　　)
A.y2=16x B.y2=-16x
C.y2=8x D.y2=-8x
解析:由双曲线的方程-=1可得,其右顶点坐标为(4,0),
所以可设所求抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
因为(4,0)为抛物线的焦点,所以=4,因此p=8,
故抛物线的标准方程为y2=16x.
答案:A
5.已知抛物线y=mx2(m>0)的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则m=.
解析:将抛物线y=mx2(m>0)的方程化为标准方程是x2=y,所以其焦点是.因为抛物线的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,因此-2=,结合m>0,得m=.
6.已知抛物线y2=4x上一点M(x0,2),则点M到抛物线焦点的距离等于4.
解析:把点M(x0,2)代入抛物线方程可得,(2)2=4x0,解得x0=3 .所以点M到抛物线焦点的距离为x0+1=4 .
7.已知抛物线的焦点是双曲线-=1的右焦点,它的准线过双曲线-=1的左焦点,抛物线与此双曲线交于点,,求抛物线和双曲线的标准方程.
解:设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),将点代入方程,得p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
因为抛物线的准线为直线x=-1,
所以双曲线的焦点为(-1,0),(1,0).
因为点到两焦点距离之差为1,所以2a=1,即a=.
又因为a2+b2=,所以b2=.
所以双曲线的标准方程为-=1.
B级　能力提升
8.过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的动圆的圆心的轨迹是 (　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:如图,设动圆的圆心为M.由题意,知M到直线l的距离等于圆的半径|MA|.由抛物线的定义,知点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.

答案:D
9.已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为 (　　)
A.3 B.2 C.4 D.2
解析:如图,在平面直角坐标系中作出图象,并作PN垂直准线于点N.由题意可得|PM|+|PF|=|PM|+|PN|≥|MN|,
显然,当P,M,N三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1,
所以当P,M,N三点共线,即点N的坐标为(1,-1)时,(|PM|+|PF|)min=|MN|=3.

答案:A
10.抛物线形拱桥的示意图如图所示,当水面在AB时,拱顶距离水面2 m,水面宽4 m,当水位上升 0.5 m后,水面宽 (　　)

A. m B. m C.2 m D.2 m
解析:如图,建立平面直角坐标系.

设抛物线方程为x2=my,将点A的坐标(-2,-2)代入x2=my,得m=-2,可得抛物线方程为x2=-2y,水位上升0.5 m后,将y=-代入抛物线方程可得,x=±,故此时水面宽度为2 m.
答案:C
11.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是抛物线C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=6.
解析:设点N的坐标为(0,a),由点F(2,0),M为FN的中点,可得点M的坐标为.因为点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4.所以点N的坐标为(0,4)或(0,-4),那么|FN|==6.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时,其面积为2.
解析:画出草图,过P作准线l的垂线,垂足为M'(图略),则|PM'|=|PF|.又因为|PM|=|PF|,所以|PM|=|PM'|,M与M'重合,此时PM⊥PF,PM⊥l,所以PF∥l,|PM|=|PF|=2,所以S△FPM=×2×2=2.
13.动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解:如图,设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'⊥l'于点D',连接PA.

设圆A的半径为r,动圆P的半径为R,可知r=1.
因为圆P与圆A外切,所以|PA|=R+r=R+1.
又因为圆P与直线l:x=1相切,
所以|PD'|=|PD|+|DD'|=R+1.
因为|PA|=|PD'|,即动点P到定点A的距离与到定直线l'的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以直线l'为准线的抛物线.设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),可知p=4,所以所求的轨迹方程为y2=-8x.
14.如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.

解:(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
由4+=5,得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意,得A(4,4),B(0,4),M(0,2).
又因为点F的坐标为(1,0),所以kAF=,
则FA的方程为y=(x-1).
因为MN⊥FA,所以kMN=-,
则MN的方程为y=-x+2.
解方程组得
所以点N的坐标为.
C级　挑战创新
15.多选题对于标准形式的抛物线,给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 (　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为(2,1)
解析:抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B项满足,A项不满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为焦点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C项不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,故可设过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为点(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以D项满足.
答案:BD
16.多选题如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,PE⊥l于点E,∠EPF的邻补角的平分线交x轴于点Q,过Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N,作QM⊥PF交线段PF于点M,则 (　　)

A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|
C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|
解析:由抛物线的定义,得|PE|=|PF|,A项正确;因为PN∥QF,PQ是∠FPN的平分线,所以∠FQP=∠NPQ=∠FPQ,所以|PF|=|QF|,B项正确;由PQ是∠FPN的平分线,QN⊥PE,QM⊥PF,得|QM|=|QN|,从而有|PM|=|PN|,若|PN|=|MF|,则|PM|=|FM|,这样就有|QP|=|QF|,△PFQ为等边三角形,∠FPQ=60°,则∠FPE=60°,这只是在特殊位置才有可能,因此C项错误;连接EF,如图,由选项A,B,知|PE|=|QF|,又因为PE∥QF,所以四边形EPQF是平行四边形,所以|EF|=|PQ|,显然|EK|=|QN|,所以|KF|=|PN|,D项正确.

答案:ABD