人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优质导学案

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1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念，培养数学抽象的核心素养．
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，培养数学运算的核心素养．
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题，培养数学运算的核心素养．．
重点难点
重点：抛物线的标准方程及其推导过程
难点：求抛物线标准方程
课前预习 自主梳理
知识梳理
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
知识点一 抛物线的定义
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．( )
(4)抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√
【详解】(1)正确．由抛物线的定义可知．
(2)错误．因为定点F(1,0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线．
(3)正确．点P到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，即点P到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线．
(4)正确．抛物线方程中p的几何意义是焦点到准线的距离．
2.已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义，到焦点的距离等于其到准线的距离，代入数据即可求解.
【详解】由抛物线的方程可得其准线方程为，
根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离，
故，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的定义及应用，属于础题题目.
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题首先可写出抛物线的焦点以及双曲线的右焦点，然后根据抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合即可得出结果.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
所以，，
故选：A.
4.（多选题）给出如下四个命题正确的是（ ）
A．方程表示的图形是圆
B．椭圆的离心率
C．抛物线的准线方程是
D．双曲线的渐近线方程是
【答案】CD
【分析】依次判断各选项正误即可.
【详解】对于A，，则方程表示的图形为坐标，则A错误；
对于B，由可知，则离心率为，则B错误；
对于C，，则，则准线方程为，则C正确；
对于D，由可知焦点在轴上，且，则渐近线方程是，则D正确.
故选：CD
5.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程和双曲线方程分别可知焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线可设为，即，焦点到的距离为 .
故选：A.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为，
问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题．
师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当0<<1时时，点M的轨迹为椭圆，当>1时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
设计意图：问题引入设置悬念， 引发学生思考。
问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
可以发现，在点随着点运动的过程中，始终有，即点与定点的距离等于它到定直线的距离，点的轨迹形状与二次函数的图象相似．
环节二 观察分析，感知概念
问题3：它的轨迹是什么形状？你能发现点满足的几何条件吗？
【预设的答案】抛物线；
【设计意图】用圆锥曲线的统一定义引出课题，自然顺畅，且可以让学生产生类比的想法.
问题4：分别表示什么呢？
【活动预设】引导学生关注动点到定点与到定直线的距离，从而可以用几何特征表述抛物线的定义.
问题5：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？
【设计意图】让学生联想生活、科研和生产中的抛物线，并引导学生联想二次函数，产生思维冲突.
我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabla）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．
环节三 抽象概括，形成概念
问题6：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
【活动预设】
（1）分组合作探究；
（2）画图尝试，如何建系使得方程形式更简单.
教师讲授：根据抛物线的定义中涉及的元素以及抛物线的形状，不难想到可以让准线平行于一条坐标轴，过焦点且与准线垂直的直线为另一条坐标轴，例如可以让准线平行于y轴，过焦点且与准线垂直的直线为x轴，这样仍然有3种情况，继续观察，容易想到，x轴与抛物线的交点是图中KF的中点，可将其设置为原点.
【设计意图】学生通过画图尝试，可以逐渐感知如何建系使得各元素以及曲线的方程形式简单.
根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系．
问题7：设焦点到准线的距离为p，则焦点坐标，准线方程，以及抛物线上一点满足的方程如何表示？
【设计意图】
（1）体验将几何关系用代数表达式表示；
（2）感受直接法求轨迹方程；
（3）锻炼化简计算能力.
设，那么焦点的坐标为，准线的方程为．
设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义，抛物线是点的集合
．
因为，，
所以
．
将上式两边平方并化简，得
．①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．找们把方程①叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线．
问题8：上述方程就是抛物线方程吗？为什么？
【预设答案】还不能确定.
【设计意图】让学生理解曲线的方程的充分性与完备性.
问题9：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
【预设答案】焦点在x轴的正负半轴，y轴的正负半轴.
【设计意图】让学生通过类比得到不同形式的标准方程.
问题10：观察焦点在x轴的正半轴和y轴的正半轴的抛物线，它们的图形有什么联系？利用它们的联系如何得到它们的方程的联系？
【设计意图】结合三角函数的定义可以让学生从旋转的角度，理解点的坐标的变换，再利用相关点法求轨迹方程，便可以利用图形的位置关系获得旋转后曲线的方程，以免学生只是从形式上简单猜测其他几种形式的标准方程.
环节四 辨析理解 深化概念
探究
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表．
问题11：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
由，得，
当时，表示开口向上的抛物线，，，焦点坐标为，准线方程为；
当时，表示开口向下的抛物线，，，焦点坐标为，准线方程为．
【预设答案】是，可以通过配方、平移变换成标准方程.
【设计意图】通过这个思考，可以锻炼学生对式的运算能力、数形结合能力，增强知识之间的联系和对知识的本质思考.
环节五 概念应用，巩固内化
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
解：（1）因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是．
（2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是．
【设计意图】
（1）观察抛物线的标准方程形式，作图并找出对应的特征元素.
（2）逆向运用，理解标准方程的对应形式.
例2一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为lm，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解：如图3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上．
设抛物线的标准方程是．由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得
，
即．
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．
【设计意图】
在实际情境中让学生感受抛物线的应用；锻炼学生阅读理解能力，提取信息的能力，加深对概念的理解；提升学生分析问题、解决问题的能力.
环节六 归纳总结,反思提升
教师引导学生带着下列问题回顾本节课所学知识和学习过程：
(1)抛物线的几何特征是什么？
(2)抛物线的标准方程是如何获得的？
(3)抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归．
3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
思考：抛物线的标准方程有哪几种形式？如何利用它们的位置关系求其标准方程？在证明二次函数是抛物线时我们用了什么方法？如何用坐标表示抛物线的焦半径？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第133页 练习 第1，2，3题
第138 页 习题3.3 第1,2，3,4，5题
备用练习
1.已知抛物线过点A（2，2），则点A到准线的距离为 ．
【答案】
【分析】首先求抛物线方程，再求点到准线的距离.
【详解】由条件可知，，得，
即抛物线方程，准线方程，
则点到准线的距离.
故答案为：
2.抛物线的焦点到直线的距离是 ．
【答案】
【分析】求得抛物线焦点坐标，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由抛物线得焦点F（1，0），
∴点F（1，0）到直线的距离．
故答案为：．
3.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是 .
【答案】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．
【详解】解：
∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：
设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为
|PA″|＝|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．
故答案为．
【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.
4.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】计算椭圆的右焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得抛物线的标准方程.
【详解】由题可知：椭圆的右焦点坐标为
所以可知抛物线的焦点坐标为，抛物线的标准方程为.
故答案为：.
5.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
【答案】
【分析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.
【详解】如图所示：，
由抛物线的定义得：，所以，
由图象知：当三点共线时，最小，
.
故答案为：.
定义
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点
点F叫做抛物线的焦点
准线
直线l叫做抛物线的准线
集合
表示
P＝{M||MF|＝d}，d为点M到准线l的距离
焦点位置
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
焦点在x正半轴上
y2＝2px(p>0)
(p2,0)
x=−p2
焦点在x负半轴上
y2=-2px(p>0)
(−p2,0)
x=p2
焦点在y正半轴上
x2＝2py(p>0)
(0,p2,)
y=−p2
焦点在y负半轴上
x2=-2py(p>0)
0,−p2,)
y=p2
设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，
当0<<1时
动点M的轨迹为椭圆
当>1时
动点M的轨迹为双曲线
当=1时
动点M的轨迹为 ？
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程