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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀课后作业题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀课后作业题，文件包含第06讲332抛物线的简单几何性质原卷版docx、第06讲332抛物线的简单几何性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
知识点01：抛物线的简单几何性质
知识点02：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
知识点03：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
【即学即练2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.
【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
题型01抛物线的简单性质
【典例1】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称，
∴抛物线C的方程为，
∴抛物线C的准线方程是.
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
【变式1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）对抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】B
【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B
【变式2】（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ．
【答案】6
【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6
题型02直线与抛物线的位置关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
【答案】C
【详解】联立直线和抛物线方程可得，
整理可得，
直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，
即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.
故选：C
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.
故选:BD．
【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ．
【答案】/
【详解】设，则点M到直线的距离
，当时取等号.
故答案为：
【典例4】（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知抛物线，其准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为；
（2）设，联立，得，
，得，则，
因为，则，
则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；
综上，m的值为．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4B．2C．0或4D．8
【答案】C
【详解】联立得：，
当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，
综上可知： 或，
故选：C
【变式2】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】BD
【详解】联立，消去可得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
或.
故选：BD.
【变式3】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线l的方程．
【答案】或
【详解】由题，直线的斜率存在，并设方程为，
联立整理得，
由可得，
整理得，
联立整理得，
由可得，
化简得，则有，
由可得解得，
所以或，
所以直线的方程为或.
题型03抛物线的弦长
【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设则，
由，可得
所以，得直线的方程为.
（2）联立方程，得，
得，所以
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线与抛物线交于两点，求线段AB的长．
【答案】．
【详解】解：抛物线，直线，
将直线方程代入到抛物线方程中，得：，
整理得：，
设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
所以弦长．
【变式1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切，
，整理得，
故动点的轨迹方程为．
（2）设，，直线的方程为，
则由，整理得,
．
【变式2】（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的准线方程为.
(1)求的值；
(2)直线交抛物线于、两点，求弦长.
【答案】(1)2；
(2).
【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得，
所以的值为2.
（2）由（1）知，抛物线，设点，，
由消去y得：，，则，，
所以
.
题型04抛物线的中点弦和点差法
【典例1】（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，
设，则，两式相减得，
整理得，因为MN的中点为，则，
所以，所以直线l的方程为即.
故选：A
【典例2】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在抛物线中，，
由几何知识得，
，
解得：，
故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，
两式相减得，
整理得，
因为的中点为，
∴，
∴直线的方程为：，
即，经检验，满足题意.
【变式1】（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
【答案】
【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），
设，，
由，相减得，
∴，即，
直线方程为，即，
故答案为：．
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的标准方程为，
（2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点．
设点，直线斜率为
点在抛物线上，所以
所以，即，
所以直线方程为．
经检验，直线符合题意.
题型05抛物线的焦点弦
【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A．B．C．18D．20
【答案】B
【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得，
所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直线的方程为，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故选：B
【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，
所以曲线C的轨迹方程是；
（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，
设直线方程为，代入曲线C方程整理得，
设，则，
，
所以直线方程为，即或．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意可得，解得或，又、、，
所以，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可得，，，
因为直线直线，所以，
所以直线的方程为，即，
由，消去整理得，
设，，所以，
所以，
所以.
【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
【答案】
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
【变式2】（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，
上故的方程为．
（2）设，，
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为，
联立得，则．
∴，
故线段的长度为．
【变式3】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
题型06抛物线的定值、定点、定直线问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线MN恒过定点．
【详解】（1）由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
【典例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.
(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)定值为64
【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
【典例3】（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．
(1)求p的值：
(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定直线方程为.
【详解】（1）由题得抛物线的焦点坐标为，
设直线l1的方程为，
由已知得圆的圆心，半径，
因为直线l1与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为
所以切线l2的方程为．
令，即l2交y轴于B点坐标为，
所以，
∴，
∴．
设N点坐标为（x，y），则，
所以点N在定直线上．
【变式1】（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）设，则
因为点B在抛物线上，即，
化简得，所以曲线E的方程为．
（2）假设存在点使为正三角形．
当MN垂直于y轴时，不符合题意；
当MN不垂直于y轴时，
设直线MN：，MN的中点为，
联立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵为正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在点使为正三角形．
【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过作直线与抛物线交于，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由题知，点的横坐标为，
∴，，
∴，∴，解得，
∴抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，，直线的方程为，
代入，整理得，∴，即，
∴，，
∴
.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，
由,消元得，，，；
由弦长公式得，
即，解得或（舍去），满足，
从而的标准方程为.
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线的方程为，设，
由，消去得，则.
设直线的方程为，
同理，消去得可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
法二：设直线方程为，由消去得，
设，则．
设直线的方程为，
同理可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，．
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
题型07抛物线的向量问题
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，
可得，设，则，
因为，可得，
即，整理得.
（2）当直线的斜率存在，可设直线，
联立方程组，整理得，
设，
因为直线与曲线交于两点，则，
且，
因为，可得，
所以
；
当直线的斜率不存在，此时直线，
联立方程组，解得，不妨设，
此时，可得，
综上可得，为定值.
【典例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，
所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，
则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线E的方程为.
（2）设，
由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的两根，，
由韦达定理可得①，
由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，
与抛物线方程联立可得，
易得，由韦达定理可得②，
由①②可得，
故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;
(2)设为原点，若，求证:为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）由点在抛物线上，所以，
所以抛物线的方程为.设直线的方程为.
由，得.依题意，
解得且.且.
因为弦的中点横坐标为3，所以，即，
解得或，所以的一般方程为或.
（2）直线的方程为，
又，令，得点的纵坐标为.所以，
同理得点的坐标为.
由，得，.
所以.
所以，即为定值.
【变式2】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程：
(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹方程.
（2）设直线，
联立，而①，
∴，则，
由，即满足①式，
∴直线：必过点.
题型08抛物线的三角形问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）知.
由，得，,
则，，
所以,
所以
,
因为点到直线的距离,
所以的面积为.
【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.
（2）（i）设，，直线，
与抛物线联立，得，因此，.
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则.同理可得.
所以.
因此直线，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.
（ii）因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值.
【变式1】（2023春·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，则直线为，即，
联立抛物线可得：，则，，
所以，
又O到直线的距离，
所以.
【变式2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
(1)求E的标准方程；
(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)32
【详解】（1）抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·北京·高三专题练习）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在轴上，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，
故选：D
2．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【详解】依题意，，则由解得，
所以点的横坐标为3.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
4．（2023春·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【详解】依题意作下图：
设，，所以，
可得，由，解得，所以，
所以.
故选：A.
5．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为，
由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
6．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.
所以.
故选：C
7．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点，
在抛物线上，所以直线斜率一定不为，
设直线的方程为：，设，
与联立方程可得：，即，
所以，
则
，所以①，
，
所以②，由①②可得：，
所以，故.
故选：A.
8．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，
故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.
故选:C.
二、多选题
9．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
10．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为B．的大小可能为
C．的最小值为8D．
【答案】ACD
【详解】由题意得，，则的准线为，故A正确；
,设
，整理得，，
所以，
，
，
所以，故B错误；
，
当时，的最小值为8，故C正确；
∵，
∴，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
【答案】2
【详解】设交点坐标为过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
故答案为：2.
12．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ．
【答案】
【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，
联立方程，得，，
，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示：
由题意可知，因为，，
由，，可得，
由抛物线的定义可知，，解得．
则的方程为.
（2）如图所示：
在抛物线上，所以，
设直线的方程为，，，
将代入，得
则，
，同理
整理得，，
直线的方程为，所以直线过定点.
当时，点到直线距离最大，
且最大距离为，
经检验符合题意.
14．（2023春·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）证明：设，且，
联立消去x可得，
则，且，即，
所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直线l的方程为，
所以直线l必过定点．
B能力提升
1．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因为，
点到直线的距离，
所以的面积.
故选：.
2．（2023·河北·校联考三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
【答案】D
【详解】设为抛物线上一点，
当时，由得：，在处的切线方程为：，
即，；
同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为；
经检验，当，时，切线方程为，满足，
过抛物线上一点的切线方程为：；
设，
则抛物线在处的切线方程为和，，
点满足直线方程：，又直线过焦点，
，解得：，点必在直线上；AC错误；
由题意知：，，
，，；
设直线方程为：，
由得：，，，即，
以为直径的圆过点；B错误，D正确.
故选：D.
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在四面体中，，点E在内运动（含边界位置），记平面与平面所成的角为，若，则的最大值为 .
【答案】
【详解】取的中点为，由于，所以 ,
所以为平面与平面所成的角，由于 ,则，
设点E到的距离为h，则，即，
故点E的轨迹为以点A为焦点、为准线的抛物线在内的一段弧（如图）,
建立如图所示的直角坐标系，则，，
故抛物线方程为 直线，
联立两者方程可得 或（舍去），即当点运动到的位置时，此时
所以点E到的距离h的最大值为，故.
故答案为：
4．（2023春·山东青岛·高二统考期中）在坐标平面内，抛物线的准线为，点是上一点，且，垂足为，连接交于点，则直线在轴上的截距为 ；若点到的距离为，则 .
【答案】
【详解】
∵抛物线的准线为，∴，，
∴抛物线的方程为，
∴由题意，即，（）∴，
又∵，∴直线的方程为，
由，解得，
∴直线的方程为，（），
令，则，即，
∴，∴，
∴直线与轴交于点，直线在轴上的截距为.
∵抛物线的方程为，∴直线与轴交点为抛物线的焦点，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，即，
则到直线的距离，解得，
由抛物线的对称性，不妨取，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，（），，解得，，
∴，且由抛物线焦点弦弦长，，
∴.
故答案为：，.
C综合素养
1．（2023秋·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
（2）设，，
联立，可得，
则，得，
且，，
所以，
.
因为，所以，可得，
即，
所以，
即，
解得或，
所以，或，，
即有或.
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点，点在上，且是以为顶点的等腰三角形，其周长为10.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与交于A，两点，点与A，不共线，判断是否存在实数，使得直线，与直线交于点，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【详解】（1）
焦点为，
三角形EMF为等腰三角形，所以E点的横坐标为，
而点E在抛物线上，
所以E点的纵坐标为，
所以
解得 或 -5 (舍去),
所以 .
（2）
设
则以 为直径的圆的圆心为 ，
若该圆经过原点, 则原点到 的距离为 长度的一半,
即,
整理得 ，
设点A坐标，点B坐标，直线直线方程为，
联立，
所以，
所以，，
所以直线，
又因为，
所以，
令得，
即，
同理可得
由，
所以，
整理得，，
又，，
所以整理得，
即，
上式要对任意恒成立，
则需要，
所以.
课程标准
学习目标
①理解与掌握抛物线的几何性质。
②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。
③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。
通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识点01：抛物线的简单几何性质
知识点02：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
知识点03：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
【即学即练2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.
【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
题型01抛物线的简单性质
【典例1】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称，
∴抛物线C的方程为，
∴抛物线C的准线方程是.
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
【变式1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）对抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】B
【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B
【变式2】（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ．
【答案】6
【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6
题型02直线与抛物线的位置关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
【答案】C
【详解】联立直线和抛物线方程可得，
整理可得，
直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，
即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.
故选：C
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.
故选:BD．
【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ．
【答案】/
【详解】设，则点M到直线的距离
，当时取等号.
故答案为：
【典例4】（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知抛物线，其准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为；
（2）设，联立，得，
，得，则，
因为，则，
则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；
综上，m的值为．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4B．2C．0或4D．8
【答案】C
【详解】联立得：，
当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，
综上可知： 或，
故选：C
【变式2】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】BD
【详解】联立，消去可得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
或.
故选：BD.
【变式3】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线l的方程．
【答案】或
【详解】由题，直线的斜率存在，并设方程为，
联立整理得，
由可得，
整理得，
联立整理得，
由可得，
化简得，则有，
由可得解得，
所以或，
所以直线的方程为或.
题型03抛物线的弦长
【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设则，
由，可得
所以，得直线的方程为.
（2）联立方程，得，
得，所以
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线与抛物线交于两点，求线段AB的长．
【答案】．
【详解】解：抛物线，直线，
将直线方程代入到抛物线方程中，得：，
整理得：，
设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
所以弦长．
【变式1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切，
，整理得，
故动点的轨迹方程为．
（2）设，，直线的方程为，
则由，整理得,
．
【变式2】（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的准线方程为.
(1)求的值；
(2)直线交抛物线于、两点，求弦长.
【答案】(1)2；
(2).
【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得，
所以的值为2.
（2）由（1）知，抛物线，设点，，
由消去y得：，，则，，
所以
.
题型04抛物线的中点弦和点差法
【典例1】（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，
设，则，两式相减得，
整理得，因为MN的中点为，则，
所以，所以直线l的方程为即.
故选：A
【典例2】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在抛物线中，，
由几何知识得，
，
解得：，
故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，
两式相减得，
整理得，
因为的中点为，
∴，
∴直线的方程为：，
即，经检验，满足题意.
【变式1】（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
【答案】
【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），
设，，
由，相减得，
∴，即，
直线方程为，即，
故答案为：．
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的标准方程为，
（2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点．
设点，直线斜率为
点在抛物线上，所以
所以，即，
所以直线方程为．
经检验，直线符合题意.
题型05抛物线的焦点弦
【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A．B．C．18D．20
【答案】B
【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得，
所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直线的方程为，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故选：B
【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，
所以曲线C的轨迹方程是；
（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，
设直线方程为，代入曲线C方程整理得，
设，则，
，
所以直线方程为，即或．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意可得，解得或，又、、，
所以，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可得，，，
因为直线直线，所以，
所以直线的方程为，即，
由，消去整理得，
设，，所以，
所以，
所以.
【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
【答案】
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
【变式2】（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，
上故的方程为．
（2）设，，
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为，
联立得，则．
∴，
故线段的长度为．
【变式3】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
题型06抛物线的定值、定点、定直线问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线MN恒过定点．
【详解】（1）由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
【典例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.
(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)定值为64
【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
【典例3】（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．
(1)求p的值：
(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定直线方程为.
【详解】（1）由题得抛物线的焦点坐标为，
设直线l1的方程为，
由已知得圆的圆心，半径，
因为直线l1与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为
所以切线l2的方程为．
令，即l2交y轴于B点坐标为，
所以，
∴，
∴．
设N点坐标为（x，y），则，
所以点N在定直线上．
【变式1】（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）设，则
因为点B在抛物线上，即，
化简得，所以曲线E的方程为．
（2）假设存在点使为正三角形．
当MN垂直于y轴时，不符合题意；
当MN不垂直于y轴时，
设直线MN：，MN的中点为，
联立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵为正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在点使为正三角形．
【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过作直线与抛物线交于，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由题知，点的横坐标为，
∴，，
∴，∴，解得，
∴抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，，直线的方程为，
代入，整理得，∴，即，
∴，，
∴
.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，
由,消元得，，，；
由弦长公式得，
即，解得或（舍去），满足，
从而的标准方程为.
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线的方程为，设，
由，消去得，则.
设直线的方程为，
同理，消去得可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
法二：设直线方程为，由消去得，
设，则．
设直线的方程为，
同理可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，．
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
题型07抛物线的向量问题
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，
可得，设，则，
因为，可得，
即，整理得.
（2）当直线的斜率存在，可设直线，
联立方程组，整理得，
设，
因为直线与曲线交于两点，则，
且，
因为，可得，
所以
；
当直线的斜率不存在，此时直线，
联立方程组，解得，不妨设，
此时，可得，
综上可得，为定值.
【典例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，
所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，
则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线E的方程为.
（2）设，
由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的两根，，
由韦达定理可得①，
由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，
与抛物线方程联立可得，
易得，由韦达定理可得②，
由①②可得，
故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;
(2)设为原点，若，求证:为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）由点在抛物线上，所以，
所以抛物线的方程为.设直线的方程为.
由，得.依题意，
解得且.且.
因为弦的中点横坐标为3，所以，即，
解得或，所以的一般方程为或.
（2）直线的方程为，
又，令，得点的纵坐标为.所以，
同理得点的坐标为.
由，得，.
所以.
所以，即为定值.
【变式2】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程：
(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹方程.
（2）设直线，
联立，而①，
∴，则，
由，即满足①式，
∴直线：必过点.
题型08抛物线的三角形问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）知.
由，得，,
则，，
所以,
所以
,
因为点到直线的距离,
所以的面积为.
【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.
（2）（i）设，，直线，
与抛物线联立，得，因此，.
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则.同理可得.
所以.
因此直线，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.
（ii）因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值.
【变式1】（2023春·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，则直线为，即，
联立抛物线可得：，则，，
所以，
又O到直线的距离，
所以.
【变式2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
(1)求E的标准方程；
(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)32
【详解】（1）抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·北京·高三专题练习）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在轴上，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，
故选：D
2．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【详解】依题意，，则由解得，
所以点的横坐标为3.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
4．（2023春·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【详解】依题意作下图：
设，，所以，
可得，由，解得，所以，
所以.
故选：A.
5．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为，
由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
6．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.
所以.
故选：C
7．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点，
在抛物线上，所以直线斜率一定不为，
设直线的方程为：，设，
与联立方程可得：，即，
所以，
则
，所以①，
，
所以②，由①②可得：，
所以，故.
故选：A.
8．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，
故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.
故选:C.
二、多选题
9．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
10．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为B．的大小可能为
C．的最小值为8D．
【答案】ACD
【详解】由题意得，，则的准线为，故A正确；
,设
，整理得，，
所以，
，
，
所以，故B错误；
，
当时，的最小值为8，故C正确；
∵，
∴，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
【答案】2
【详解】设交点坐标为过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
故答案为：2.
12．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ．
【答案】
【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，
联立方程，得，，
，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示：
由题意可知，因为，，
由，，可得，
由抛物线的定义可知，，解得．
则的方程为.
（2）如图所示：
在抛物线上，所以，
设直线的方程为，，，
将代入，得
则，
，同理
整理得，，
直线的方程为，所以直线过定点.
当时，点到直线距离最大，
且最大距离为，
经检验符合题意.
14．（2023春·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）证明：设，且，
联立消去x可得，
则，且，即，
所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直线l的方程为，
所以直线l必过定点．
B能力提升
1．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因为，
点到直线的距离，
所以的面积.
故选：.
2．（2023·河北·校联考三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
【答案】D
【详解】设为抛物线上一点，
当时，由得：，在处的切线方程为：，
即，；
同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为；
经检验，当，时，切线方程为，满足，
过抛物线上一点的切线方程为：；
设，
则抛物线在处的切线方程为和，，
点满足直线方程：，又直线过焦点，
，解得：，点必在直线上；AC错误；
由题意知：，，
，，；
设直线方程为：，
由得：，，，即，
以为直径的圆过点；B错误，D正确.
故选：D.
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在四面体中，，点E在内运动（含边界位置），记平面与平面所成的角为，若，则的最大值为 .
【答案】
【详解】取的中点为，由于，所以 ,
所以为平面与平面所成的角，由于 ,则，
设点E到的距离为h，则，即，
故点E的轨迹为以点A为焦点、为准线的抛物线在内的一段弧（如图）,
建立如图所示的直角坐标系，则，，
故抛物线方程为 直线，
联立两者方程可得 或（舍去），即当点运动到的位置时，此时
所以点E到的距离h的最大值为，故.
故答案为：
4．（2023春·山东青岛·高二统考期中）在坐标平面内，抛物线的准线为，点是上一点，且，垂足为，连接交于点，则直线在轴上的截距为 ；若点到的距离为，则 .
【答案】
【详解】
∵抛物线的准线为，∴，，
∴抛物线的方程为，
∴由题意，即，（）∴，
又∵，∴直线的方程为，
由，解得，
∴直线的方程为，（），
令，则，即，
∴，∴，
∴直线与轴交于点，直线在轴上的截距为.
∵抛物线的方程为，∴直线与轴交点为抛物线的焦点，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，即，
则到直线的距离，解得，
由抛物线的对称性，不妨取，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，（），，解得，，
∴，且由抛物线焦点弦弦长，，
∴.
故答案为：，.
C综合素养
1．（2023秋·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
（2）设，，
联立，可得，
则，得，
且，，
所以，
.
因为，所以，可得，
即，
所以，
即，
解得或，
所以，或，，
即有或.
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点，点在上，且是以为顶点的等腰三角形，其周长为10.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与交于A，两点，点与A，不共线，判断是否存在实数，使得直线，与直线交于点，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【详解】（1）
焦点为，
三角形EMF为等腰三角形，所以E点的横坐标为，
而点E在抛物线上，
所以E点的纵坐标为，
所以
解得 或 -5 (舍去),
所以 .
（2）
设
则以 为直径的圆的圆心为 ，
若该圆经过原点, 则原点到 的距离为 长度的一半,
即,
整理得 ，
设点A坐标，点B坐标，直线直线方程为，
联立，
所以，
所以，，
所以直线，
又因为，
所以，
令得，
即，
同理可得
由，
所以，
整理得，，
又，，
所以整理得，
即，
上式要对任意恒成立，
则需要，
所以.
课程标准
学习目标
①理解与掌握抛物线的几何性质。
②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。
③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。
通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
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