高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后作业题

3.3.2 抛物线的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1. ［探究点一］若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为(  )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

2. ［探究点一］若抛物线上有两点,，且垂直于轴，若，则点到抛物线的准线的距离为(  )

A.  B.  C. 2 D.

3. ［探究点一、二］设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为(  )

A. 2 B.  C.  D. 3

4. ［探究点三］已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为(  )

A. 18 B. 24 C. 36 D. 48

5. ［探究点一］设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则，到该抛物线准线的距离为.

6. ［探究点四］已知点到点和到直线的距离相等，记点的轨迹为.

（1） 求轨迹的方程；

（2） 过点作相互垂直的两条直线,，曲线与交于点,，与交于点,，试证明:.

B级 关键能力提升练

7. 设为坐标原点,为抛物线的焦点,是抛物线上一点,若,则点的坐标是(  )

A.  B.  C.  D.

8. 已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,（其中为坐标原点）,则与面积之和的最小值是(  )

A.  B. 3 C.  D.

9. 已知抛物线的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且,的面积为,则抛物线方程为(  )

A.  B.  C.  D.

10. 已知点是拋物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(  )

A.  B.  C.  D.

11. 为抛物线的焦点弦的中点，，，三点到抛物线准线的距离分别是，，，则有(  )

A.  B.

C.  D.

12. （多选题）已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于,两点,,分别为过点,点向作垂线得到的垂足，且,为的中点，则下列结论正确的是(  )

A.  B. 为等腰直角三角形

C. 直线 的斜率为 D. 的面积为4

13. 已知抛物线的方程为,为坐标原点,,为抛物线上的点,若为等边三角形,且面积为,则的值为.

14. 直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则,.

15. 已知直线与抛物线交于,两点,且线段恰好被点平分.

（1） 求直线的方程.

（2） 抛物线上是否存在点和,使得,关于直线对称？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

16. 如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，.

（1） 求的值；

（2） 连接，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.

C级 学科素养创新练

17. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线,如图,一平行于轴的光线射向抛物线上的点,反射后又射向抛物线上的点,再反射后又沿平行于轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.

3.3.2 抛物线的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1. A

[解析]由题意，知抛物线的准线方程为，

抛物线上一点到轴的距离为，则，

点到抛物线的准线的距离为，

点到抛物线的焦点的距离为4.

故选.

2. B

[解析]由抛物线得，其准线方程为，

垂直于轴，，

点到轴的距离为，假设点在轴上侧，即，

代入抛物线，求得，

点到抛物线的准线的距离.故选.

3. A

[解析]由

得,,故方程无实数解,

直线与抛物线相离.

又,而为到准线的距离,故为到焦点的距离,

从而的最小值为到直线的距离,即,故的最小值为2.

4. C

[解析]不妨设抛物线方程为，

依题意，轴，且焦点，

当时，，，

.

又点到直线的距离为，

故.

5. ;

[解析]由已知得，把点坐标代入得，，，

，故.

6. （1） 解 点到点和到直线的距离相等，由抛物线的定义可知,点的轨迹是抛物线，设方程为，，.

轨迹的方程为.

（2） 证明易知直线,的斜率均存在且不为0,设的方程为，代入抛物线方程，整理可得，

设,的横坐标分别为,，则,，

同理，可得，.

B级 关键能力提升练

7. B

[解析]由题意知,设,则,,由得, 点的坐标为.

8. D

[解析]由题意可设直线的方程为,则直线与轴的交点为,则.

设点,.

把代入,

可得,满足,

则.

,,

从而.

点,位于轴的两侧,,

故.不妨设点在轴上方,则,

又,,

,

当且仅当,即时,等号成立.与面积之和的最小值是.

9. B

[解析]设,

则由得,

即,则,

则,则,解得,即抛物线的方程为.

10. B

[解析]由,得，

焦点，准线,从而,如图所示.

过点作于点,设 .

,,

.

结合图形知，当与抛物线相切时， 最小，从而最大.

设直线的方程为,

由得,

令,解得,

不妨取,得点坐标为.

设双曲线的方程为.

在双曲线中,，

即,,即,

离心率.故选.

11. B

[解析]如图所示，根据题意，是梯形的中位线，故.

12. AC

[解析]由，得，即，

焦点，准线.

设直线的方程为，，.

由得，

，.

从而，①

.②

又，，即.③

将③代入①得，.将③代入②得，解得或（舍去）.

,，即直线的斜率为，故正确；

，，，从而 ，故正确；

，,结合图形知不是直角三角形，故错误；

,故错误.故选.

13. 2

[解析]设,.

,.

又,,

,

即.

又,与同号,.

,即.

根据抛物线对称性可知点,关于轴对称,

由为等边三角形,

不妨设直线的方程为,

由解得,

.

的面积为,

,解得,.

14. 2; 1

[解析]由题意知,从而,

所以抛物线方程为.

当直线斜率不存在时,代入,解得,,即,从而.

当直线斜率存在时，设的方程为

,显然,联立消去,整理得,设,,则

从而.

15. （1） 解 由题意可得直线的斜率存在,且不为0.

设直线，,与抛物线方程联立消去,可得.

判别式.

设,,则有,

由,得,

所以直线的方程为.

（2） 不存在.理由如下，假设,两点存在,

则可设,与抛物线方程联立,

消去，得,

其中,

则.（*）

又因为,

所以的中点为,代入直线的方程,

得,不满足（*）式.

所以满足题意的,两点不存在.

16. （1） 解依题意，设的方程为，

代入，得，从而.

（2） 证明设，，

,设直线的方程为，

代入，消去得，

所以，同理，

，

由（1）知，所以为定值.

C级 学科素养创新练

17.

[解析]由抛物线的光学性质可得,必过抛物线的焦点.

当直线的斜率不存在时,易得；

当直线的斜率存在时,

设的方程为,,,

联立得,整理得,

所以,.

所以.

综上,当直线与轴垂直时,弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为3,故,

所以抛物线的方程为.