人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线练习

第三章　3.3　3.3.1

A组·素养自测

一、选择题

1．(2023·安徽安庆市期末调研)抛物线x＝4y2的焦点坐标是( D )

A．(0,1)  B．(0，－1)

C.  D．

[解析]　抛物线的方程为x＝4y2，

化为标准方程为y2＝x，

所以焦点在x轴上，且p＝，

故其焦点坐标为.故选D.

2．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( A )

A．直线  B．抛物线

C．圆  D．双曲线

[解析]　∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．

3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A )

A．2　　  B．3

C.　　  D．

[解析]　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，

如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.

4．(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以是( BD )

A.　　  B．

C.　　  D．

[解析]　设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)．由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F，所以x0＝， 所以y＝，所以y0＝±.

5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( C )

A．－  B．－1

C．－  D．－

[解析]　因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF＝＝－.

二、填空题

6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为 －　.

[解析]　抛物线方程化为标准形式为x2＝y，由题意得a<0，∴2p＝－，∴p＝－，

∴准线方程为y＝＝－＝2，∴a＝－.

7．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为_x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．

[解析]　由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.

8．(2023·湖南浏阳一中醴陵一中高二联考)已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_2__.

[解析]　由题意得xp＝5－1＝4⇒yp＝±4，因此△PFO的面积为×4×1＝2.

三、解答题

9．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．

[解析]　∵点M到对称轴的距离为6，

∴设点M的坐标为(x,6)．

又∵点M到准线的距离为10，

∴解得或

故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.

当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.

10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

[分析]　解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组求解；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p值．

[解析]　方法一：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，

由题设可得，

解之得，或 .

故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.

方法二：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线的距离，则3＋＝5，

∴p＝4.因此抛物线方程为y2＝8x.

又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，

∴m＝±2.

B组·素养提升

一、选择题

1．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( C )

A．2  B．2

C．2  D．4

[解析]　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，

∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.

2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( D )

A．2　　　　  B．3　　　　 

C．4　　　　  D．5

[解析]　方法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，

∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，

∴所求距离为＝＝5.

方法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．

∴距离为5.

3．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( C )

A．(2＋)a  B．2(＋1)a

C．5a  D．6a

[解析]　依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，

∴B到点A的水平距离为3(km)，

∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，

那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.

4．(多选)已知点A，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线C上，直线AP交y轴于点M，且＝2，则下列表述正确的是( CD )

A．点P的纵坐标为1

B．△APF为锐角三角形

C．点A与点F关于坐标原点对称

D．点P的横坐标为

[解析]　由抛物线的方程可得F，C正确；因为＝2，则点M是线段AP的中点，又坐标原点O是线段AF的中点，所以OM是△APF的中位线，所以OM∥PF，因为OM⊥x轴，所以PF⊥x轴，所以△APF为直角三角形，B错误；设点P(x，y)，则x＝，代入抛物线方程可得y＝±1，A错误，D正确．故选CD.

二、填空题

5．若点P在抛物线y2＝4x上，点A(5,3)，F为抛物线的焦点，则|PA|＋|PF|的最小值为_6__.

[解析]　如图，抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点F(1,0)，过点A作AA′⊥l，A′为垂足，AA′与抛物线的交点P，|PF|＝|PA′|，∴|PF|＋|PA|的最小值为|AA′|＝6.

6．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 x2＝－12y　.

[解析]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，

则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．

由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，

以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.

7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，且|AF|＝2，则A点的横坐标为_1__；|BF|＝_2__.

[解析]　由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．

已知|AF|＝2，则A点到准线的距离也为2.可知|AF|＝|AA1|＝|KF|＝2，且A1K⊥AA1，A1K⊥FK，所以四边形AFKA1是正方形．∴AB⊥x轴，故|AF|＝|BF|＝2，A点的横坐标为1.

三、解答题

8．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6；

(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离是6.

[解析]　(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.

又|AB|＝6，则2|m|＝6.

∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.

(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.故所求抛物线方程为y2＝－4x或y2＝－36x.

9．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)

[解析]　如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

依题意有P(－1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.

故抛物线方程为x2＝－y.

又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，

即水池的直径至少应设计为5 m.