人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练

3.3.1 抛物线及其标准方程

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2.在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（    ）

A．直线          B．圆          C．椭圆    D．抛物线

3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)

A．－2           B．2           C．－4      D．4

4.(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)

A.x2＝3y          Bx2＝－3y      C.x2＝12y       D.x2＝－12y

5.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－           B．－1         C．－         D．－

6.抛物线的焦点到准线的距离是（     ）

A．           B．          C．2 D．4

7.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程是________.

8.已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，求点N的轨迹方程．

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)

A．2             B．4            C．6            D．4

10.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(　　)

A．(2＋)a B．2(＋1)a

C．5a D．6a

11.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A.   B.1   C.   D.

12.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)

A.4   B.2 C.1   D.8

13.若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．

14.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.

15.已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,水面宽度是　　　　m.

16.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).

(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;

(2)求点P到点B的距离之和的最小值.

【参考答案】

1.B 解析：当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.

2.D 解析：因为点不在直线上，则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线；故选：D

3. D解析：y2＝2px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2,0)，由＝2得p＝4.故选D.

4. CD解析：∵顶点与焦点的距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.

5. C解析：抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.

6.B解析：抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，

故选：B

7. 2　x＝－1解析：由y2＝2px得焦点坐标为，∴＝1⇒p＝2，准线方程x＝－1.

8.解：由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，

由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，

即点N的轨迹方程是y2＝4x.

9. D 解析：如图，∵△FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝×42＝4.故选D.

10. C解析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，

∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，

那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.

11.C解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

12.C解析：如图，F，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋＝x0＋，∴x0＝1.

13.4 解析：抛物线方程化为标准形式为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．

14. 6解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.

15.4  解析：建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,

∴抛物线方程为x2=-8y.当y=-1时,x2=8⇒x=±2.此时,水面宽度是4m.

16. 解：(1)将x=3代入y2=2x,得y=±.

∵>2,∴点A在抛物线的内部.

过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-,垂足为Q,

结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,

当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,

即|PA|+|PF|的最小值为.

此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).

(2)易知点B的距离为d.

结合抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.

又|BF|==2,

∴所求距离之和的最小值为2.