人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步练习题，共4页。
A．(± eq \r(17)，0) B．(0，± eq \r(17))
C．(±7，0) D．(0，±7)
【答案】C 【解析】由题意可知c2＝16＋33＝49，所以c＝7.由双曲线方程可知焦点在x轴上．故选C.
2．与双曲线x2－ eq \f(y2,4)＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是( )
A． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,12)＝1 B． eq \f(x2,12)－ eq \f(y2,3)＝1
C． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,12)－ eq \f(y2,48)＝1
【答案】A 【解析】依题意设双曲线的方程为x2－ eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,12)＝1.
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ eq \f(1,4)B．－4 C．4 D． eq \f(1,4)
【答案】A 【解析】双曲线方程化为标准形式y2－ eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，则有a2＝1，b2＝－ eq \f(1,m)，由题设条件知2＝ eq \r(－\f(1,m))，所以m＝－ eq \f(1,4).
4．设双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C 【解析】双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，对比3x±2y＝0得a＝2.
5．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,13)＝1 B． eq \f(x2,13)－ eq \f(y2,9)＝1
C． eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－ eq \f(y2,3)＝1
【答案】D 【解析】由双曲线的渐近线bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知 eq \f(2b,\r(a2＋b2))＝ eq \r(3)，又因为c＝ eq \r(a2＋b2)＝2，所以有a＝1，b＝ eq \r(3)，故双曲线的方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1.
6．若椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(1,4)，则双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为( )
A．y＝± eq \f(\r(3),2)xB．y＝± eq \f(\r(15),2)x
C．y＝± eq \f(\r(15),4)xD．y＝± eq \f(2\r(2),5)x
【答案】C 【解析】因为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,4)，不妨设a＝4，c＝1，则b＝ eq \r(15)，所以对应双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(\r(15),4)x.
7．(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则( )
A．该双曲线的实轴长为6
B．该双曲线的虚轴长为4
C．该双曲线的离心率为 eq \f(\r(13),3)
D．该双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(2,3)x
【答案】ABCD 【解析】将9y2－4x2＝－36化为标准方程 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1，即 eq \f(x2,32)－ eq \f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝ eq \r(13)，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(2,3)x.故选ABCD.
8．双曲线 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,k)＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是__________．
【答案】(－12，0) 【解析】双曲线方程可变为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,－k)＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(4－k),2)，又因为e∈(1，2)，则1< eq \f(\r(4－k),2)0，b>0)的离心率 eq \f(c,a)＝e，因为 eq \f(b,a)＝2 eq \r(2)，则 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2＋b2,a2)＝9，所以 eq \f(c,a)＝e＝3.
10．(2023年长春检测)已知椭圆C1的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为16 eq \r(2).
(1)求椭圆C1的标准方程及离心率；
(2)若双曲线C2与(1)中椭圆C1有相同的焦点，且过点P(6，2 eq \r(2))，求双曲线C2的标准方程．
解：(1)由题意得在椭圆C1中，2b＝2c，且 eq \f(1,2)×2ab＝16 eq \r(2).
根据a2＝b2＋c2，解得a＝4 eq \r(2)，b＝c＝4，
所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,32)＋ eq \f(y2,16)＝1.
椭圆的离心率为e＝ eq \f(4,4\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).
(2)由题意，椭圆C1的焦点为(－4，0)和(4，0).
因为双曲线C2过点P(6，2 eq \r(2))，
根据双曲线的定义，
得2a＝ eq \r([6－(－4)]2＋(2\r(2)－0)2)－ eq \r((6－4)2＋(2\r(2)－0)2)＝4 eq \r(3)，所以a＝2 eq \r(3).
又因为c＝4，所以b2＝42－(2 eq \r(3))2＝4.
所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,12)－ eq \f(y2,4)＝1.
B级——能力提升练
11．(2023年大庆检测)双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且 eq \(PF1,\s\up6(→))·( eq \(OF1,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→)))＝0(O为坐标原点)，cs ∠PF2F1＝ eq \f(12,13)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B． eq \f(5,3)
C． eq \f(13,5)D． eq \f(13,7)
【答案】D 【解析】如图，取PF1的中点为M，则 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OF1,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→))).由 eq \(PF1,\s\up6(→))·( eq \(OF1,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→)))＝0，得 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(OM,\s\up6(→))＝0，即 eq \(PF1,\s\up6(→))⊥ eq \(OM,\s\up6(→)).因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2.由cs ∠PF2F1＝ eq \f(12,13)，设|PF2|＝12，则|F1F2|＝13，|PF1|＝5，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝7，2c＝|F1F2|＝13，得双曲线C的离心率为 eq \f(c,a)＝ eq \f(13,7).故选D.
12．(多选)(2023济宁高二检测)设双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且 eq \(MF2,\s\up6(→))· eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(MN,\s\up6(→))2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为 eq \r(3)
C．双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \r(2)x
D．直线l的斜率为1
【答案】BC 【解析】如图，作F2D⊥MN于点D，则 eq \(MF2,\s\up6(→))· eq \(MN,\s\up6(→))＝| eq \(MF2,\s\up6(→))|·| eq \(MN,\s\up6(→))|·cs∠F2MN＝| eq \(MN,\s\up6(→))|| eq \(MD,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2) eq \(MN,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,2)| eq \(MN,\s\up6(→))|2，所以| eq \(MD,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \(MN,\s\up6(→))|，所以D是MN的中点，从而|F2M|＝|F2N|.根据双曲线定义，得|MF2|－|MF1|＝2a，|NF1|－|NF2|＝2a，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝4a，因为以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错误；因为|MF2|＝|NF2|＝2 eq \r(2)a，|NF1|＝(2 eq \r(2)＋2)a，由余弦定理|F1F2|2＝|NF1|2＋|NF2|2－2|NF1|·|NF2|cs 45°得4c2＝(2 eq \r(2)a)2＋(2 eq \r(2)＋2)2a2－2×2 eq \r(2)a×(2 eq \r(2)＋2)a× eq \f(\r(2),2)，化简得 eq \f(c2,a2)＝3，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(3)，B正确；由 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2＋b2,a2)＝3得 eq \f(b2,a2)＝2，即 eq \f(b,a)＝ eq \r(2)，所以渐近线方程为y＝± eq \r(2)x，C正确；由图易知∠NF1F20)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
【答案】(1，2) 【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB为锐角，所以∠AEF