人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题

二十三　双曲线及其标准方程

(15分钟　30分)

1．已知双曲线－＝1(a＞0)的一个焦点为(5，0)，则a的值为(　　)

A．9    B．6    C．5    D．3

【解析】选D.根据题意，双曲线－＝1(a＞0)的一个焦点为(5，0)，即c＝5，则有a2＋16＝25，解得a＝3.

2．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.

3．双曲线－＝1上P点到左焦点的距离是6，则点P到右焦点的距离是(　　)

A．12    B．14    C．16    D．18

【解析】选B.设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，

则＝2a＝8，故＝8，

故＝14或＝－2(舍).

4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，

又|PF1|＝2|PF2|，

所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝

2＝4.

所以cos ∠F1PF2＝

＝＝＝.

5．(2020·上海高二检测)若方程＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，求它的半焦距c的取值范围．

【解析】因为方程＋＝－1两边除以－1，方程可化简为－＝1，

又因为方程表示为焦点在y轴上的双曲线，

所以k－2>0，－3>0即k>3，

从而方程可表示为－＝1，

由于c2＝a2＋b2＝2k－5>1，

所以半焦距c的取值范围为c>1，即c∈.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2020·绥德高二检测)双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是(　　)

A．12    B．16    C．21    D．26

【解析】选D.依题意，|AF2|－|AF1|＝2a＝8，

|BF2|－|BF1|＝2a＝8，

所以(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝16，

又|AB|＝5，

所以|AF2|＋|BF2|＝16＋(|AF1|＋|BF1|)

＝16＋|AB|＝16＋5＝21.

所以|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.

即△ABF2的周长是26.

2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是(　　)

A．－y2＝1    B．x2－＝1

C．－＝1    D．－＝1

【解析】选B.由已知条件，得焦点在x轴上，

设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，

则a2＋b2＝5.①

因为线段PF1的中点的坐标为(0，2)，

所以点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，

得－＝1.②

由①②解得a2＝1，b2＝4，

所以双曲线的方程为x2－＝1.

3．已知双曲线－＝1(m＞0，n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为(　　)

A．2    B．4

C．6    D．9

【解析】选D.椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.

因为双曲线－＝1(m＞0，n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，所以m＋n＝1(m＞0，n＞0)，

所以＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.

当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．

所以＋的最小值为9.

4．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0，2)，则△PFM的周长的最小值为(　　)

A．2＋4    B．4＋2

C．3    D．2＋3

【解析】选A.依题意可知，c＝2，a＝1，所以|MF|＝2，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，

F1为左焦点，当M，P，F1三点共线时，

|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|＝2，

故周长的最小值为2＋2＋2＝2＋4.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·常州高二检测)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是(　　)

A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆

B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线

C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<

D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

【解析】选BCD.当曲线C表示椭圆时，，得

1＜t＜4且t≠，故A错误．

由双曲线的定义可知<0时，即t<1或t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故B正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得1<t<，故C正确．

当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得t＞4，故D正确．

6．(2020·潍坊高二检测)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹可能是(　　)

A．圆    B．直线

C．椭圆    D．双曲线的一支

【解析】选ACD.设动点为Q，圆C的半径为r.

当A在圆C内且不与圆心C重合时，如图所示，

平面内到定圆C的距离为，到定点A的距离为，

依题意＝，

所以＋＝＋＝r>，

所以Q的轨迹为椭圆．所以C正确．

当A在圆C内且与圆心C重合时，Q点的轨迹即为圆C.所以A正确．

当A在圆C上时，连接CA并延长，Q点的轨迹即为以C为端点的射线CA，如图所示．

当A在圆C外时，设B是圆C上任意一点，连接AB，作线段AB的垂直平分线DQ，交直线BC于点Q.

则＝，所以－＝－＝r<，

所以Q的轨迹为双曲线的一支．所以D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为__________.

【解析】在双曲线－＝1中，2a＝8，

由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，

所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|

＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.

答案：16

8．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为__________.

【解析】由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，

即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2.

答案：(2，＋∞)

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

【解析】以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．

设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)，

由题意可得||PA|－|PB||＝6a＜10a，

所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线－＝1.

10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.

(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求点M到x轴的距离．

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．

【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，因为MF1·MF2＝0，则MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①

又m2＋n2＝(2c)2＝80，②

由①②得m·n＝8，所以mn＝4＝|F1F2|·h，

所以h＝.所以M点到x轴的距离为.

(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，

由于双曲线C过点(3，2)，所以－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，

所以所求双曲线C的方程为－＝1.

1．若双曲线－y2＝1(n＞1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)

A．1    B．    C．2    D．4

【解析】选A.设点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，

解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，

|PF1|·|PF2|＝2.又|F1F2|＝2，

则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，

于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1.

【补偿训练】

 已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为__________.

【解析】设P在双曲线的右支上，|PF2|＝x(x>0)，|PF1|＝2＋x，因为PF1⊥PF2，

所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，

所以x＝－1，x＋2＝＋1，

所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.

答案：2

2．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．

【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，

所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，

则y1＝±.

又·＝m，

即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2，

解得x1＝c，

所以||＝＝≥＝2，

当且仅当c＝4时，取等号，||最小，

这时Q的坐标为(，)或(，－).

因为所以

于是所求双曲线的标准方程为－＝1.