数学选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀课时训练

绝密★启用前

4.2.2等差数列的前n项和公式同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石

A. 块
B. 块
C. 块
D. 块

2. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫九百一十人筑堤，只云初日差二十六人，次日转多六人，每人日支米一升”其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”，在该问题中的人全部派遣到位需要的天数为

A.  B.  C.  D.

3. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为

A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁

4. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则

A.  B.  C.  D.

5. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何”意思是：“现有一根金杖，长尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下尺，重斤；在最细的一端截下尺，重斤；问金杖重多少斤”设该金杖由粗到细是均匀变化的     

A.  B.  C.  D.

6. 周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为   

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

7. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈匹尺，一丈尺，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织尺布，一月按天计共织尺布，则从第天起每天比前一天多织     尺布．

A.  B.  C.  D.

9. 九章算术第六章“均输”中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细，在这个问题中的中间两节容量和是

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

10. 中国古代数学名著算法统宗中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官正一品、从一品、正二品、从二品、正三品依品递差十三石分之，问，各若干”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮在这个问题中，正三品分得俸粮是   

A. 石 B. 石 C. 石 D. 石

11. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，谷雨日影长为尺，则这十二个节气日影长之和为

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

12. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问五人各得几何？”其意思为“有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 在我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与相关的设计例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共圈，则第圈的石板数为           ，前圈的石板总数为          

14. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是          ；得到橘子最少的人所得的橘子个数是          ．
15. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是          ；得到橘子最少的人所得的橘子个数是          ．
16. 天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层如图所示，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成如图所示上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多块，则第二十七环的扇面形石块数是          ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是          ．

17. 将正奇数按如图所示的规律排列：

则在第          行，从左向右第          个数．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平．某公司计划今年年初用万元引进一条永磁电机的生产线，第一年需要安装、人工等费用万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加万元，该生产线每年年产值保持在万元．
    引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？
    引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？
    
    
    
    
    
    
     
19. 某外商到一开放区投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费万美元，以后每年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元．

若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？

若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：

年平均利润最大时以万美元出售该厂；

纯利润总和最大时，以万美元出售该厂，问哪种方案最合算？






 

20. 某投资商到一开发区投资万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出万元，以后每年支出增加万元，从第一年起每年蔬菜销售收入万元．设表示前年的纯利润总和前年的总收入前年的总支出投资额万元．

该厂从第几年开始盈利？

该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．






 

21. 为了庆祝建国周年，某市计划国庆期间在市民广场用不同颜色的鲜花摆放一个“塔状”花坛．花坛的每一层呈圆环形，最上面一层摆盆鲜花，由上往下，从第二层起每一层都比上一层多摆盆，共摆放层．问：摆放一个这样的花坛共需要多少盆鲜花？
    
    
    
    
    
    
     
22. 为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种公顷，以后每一年比上一年多栽种公顷，那么年后该农场共栽种植被多少公顷？
    
    
    
    
    
    
     
23. 某开发商用万元在市区购买一块土地欲建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加元．

若该写字楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式总开发费用总建筑费用购地费用；

要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，根据等差数列的性质即可求出，再根据前项和公式即可求出．

【解答】

解：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，
由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，
则，
则，
则三层共有扇面形石板块，
故选：．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的应用，考查等差数列前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是一般题．

根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，设人全部派遣到位需要的天数为，利用等差数列前项和公式能求出结果．

【解答】

解：根据题意设每天派出的人数组成数列，
分析可得数列是首项，公差的等差数列，
设人全部派遣到位需要的天数为，
则，
即，由为正整数，解得．
故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的应用及等差数列前项的和，属于基础题．
设这位公公个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为，则公差为，再利用，求得的值，可得结论．

【解答】

解：设这位公公个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为，则公差为，
由题意，，
解得．
故选B．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的实际应用，涉及等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题．
根据题意，分析可得数列为等差数列，由等差数列的前项和公式可得，可得的值，又由等差数列的性质可得，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，记这位公公的第个儿子的年龄为，则数列为等差数列，
又由，即，可得，
；
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的求和，属于基础题．
根据题意抽象出等差数列模型，求出该数列的前项和．

【解答】

解：由题意得，金杖从粗到细各尺的重量依次构成等差数列，
数列共有项，首项为，末项为，所求为该数列的前项和，
即．
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力．
设此等差数列的公差为，则，解得：，利用通项公式即可得出．

【解答】

解：设从冬至日起，这十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，
则
，
解得：，．
则．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列在实际问题中的运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．
运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．

【解答】

解：
．
故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的求和公式以及应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用等差数列的求和公式即可得出．

【解答】

解：设此等差数列的公差为，
则，解得，
故选C．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．
利用已知条件列出方程组，利用等差数列求出首项与公差，然后求解即可．
【解答】
解：设竹九节由上往下的容量分别为，，，，，，，，，
由题意可知：
所以问题中的中间两节容量和为：
．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等差数列的应用，涉及数学文化，考查学生数学应用能力，属于基础题．
利用题意转化为数列是以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式，得到，即可计算的值．
【解答】
解： 正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，
则是以为公差的等差数列，且，
解得，
故正三品分得俸粮数量为石．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

 【分析】
本题考查等差数列的应用，以及等差数列的性质、通项公式、前项和公式的应用，属于中档题．
由题意得，各节气日影长为等差数列，是其前项和，由通项公式、前项和公式计算求解．
【解答】
解：设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，
由题意可得，即，解得，
因为谷雨日影长为，即，所以，
所以，
所以．
故选B  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的应用，关键是建立等差数列的模型，分析其首项与公差，属于基础题．
根据题意，设人分得的橘子数目从小到大依次为、、、、，得，结合等差数列的求和公式求解即可．
【解答】
解：根据题意，设人分得的橘子数目从小到大依次为、、、、，则这个数组成以为公差的等差数列，
则，
又由人共分得个橘子，则有，
解可得，
即得到橘子最少的人得到个橘子；
故选C．  

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是等差数列的通项公式和前项和公式，难度不大，属于一般题．
根据已知可得每圈的石板数构成一个以为首项，以为公差的等差数列，求出数列的通项公式，利用等差数列前项和公式能求出结果．

【解答】

解：最高一层的中心是一块天心石，围绕它第一圈有块石板，
从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共有圈，
则每圈的石板数构成一个以为首项，以为公差的等差数列，
故，
当时，第圈共有块石板，
当时，第圈共有块石板，
前圈的石板总数．
故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的定义和求和，属于基础题．
设得到橘子最多的人所得的橘子个数为，则由多到少排成以为公差，项数为的等差数列，根据等差数列求和公式即可得解．

【解答】

解：设得到橘子最多的人所得的橘子个数为，
则由多到少排成以为公差，项数为的等差数列，
因为和为，
则，解得．
则得到橘子最少的人所得的橘子个数是，
故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的应用，掌握公式，审清题意，属于基础题．
假设得橘子最少的个数为，根据等差数列的前项和公式可得，然后简单计算可得结果．

【解答】

解：设得橘子最少的个数为，公差为，

所以，

所以得橘子最多的个数为，

故答案为：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．
根据条件知每环石块数构成等差数列，首项，，利用等差数列的通项公式以及前项和公式进行计算即可．

【解答】

解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项，，
则，
上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前项和，
即，
故答案为：；

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题从观察数阵的排列规律，考查了数列的求和应用问题，解题时，关键是发现规律并应用所学知识，来解答问题，属于中档题．
首先根据正奇数的排列规律，第一行有个正奇数，第二行有个正奇数，第行有个正奇数，利用等差数列的求和公式，求出前行一共有多少个正奇数，然后根据第个正奇数、、解答即可．

【解答】

解：由题意知，第一行有个奇数，第二行有个奇数，第行有个奇数，
则前行共有正奇数个，
所以第行的最后一个正奇数为，
当时，第行的最后一个正奇数为
当时，第行的最后一个正奇数为，
所以在第行，
前行共有个正奇数，是第个正奇数，
，
所以在第行，从左向右第个数．
故答案为；．

18.【答案】解：设引进该生产线年后总盈利为元，设除去设备引进费用，第年的成本为，构成一等差数列，
前年成本之和为万元，不包括设备引进费用，
故
，
所以当时，万元，
答：引进该生产线年后总盈利最大，最大为万元；
设引进该生产线年后平均盈利为万元，
则，，
因为，
，，
当且仅当时，取得等号，
所以当时，万元．
故引进该生产线年后平均盈利最多，最多为万元．
 

【解析】本题考查函数模型的应用，考查等差数列的应用，考查函数的最值，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，属于中档题．
设引进设备年后总盈利为元，设除去设备引进费用，第年的成本为，构成一等差数列，即可得出的解析式，即可得到答案；
设年后平均盈利为万元，则，，得，利用基本不等式求最值即可求解得到答案．
 

19.【答案】解：由题意知，每年的经费是以为首项，为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为，
则；
获纯利润就是要求，
，解得，
由知从第三年开始获利；
年平均利润，
当且仅当时取等号，
故此方案先获利万美元，此时，
，
当时，，
故第种方案共获利万美元．
故比较两种方案，获利都是万美元，
但第种方案只需年，而第种方案需年，
故选择第种方案．
 

【解析】本题考查等差数列的应用题，考查等差数列的求和公式，考查运用基本不等式和二次函数的知识求最值．
由题意知，每年的经费是以为首项，为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为，则由求和公式得到；
令，解出即可判断；
年平均利润，由基本不等式即可求得最大值及的值；
，由二次函数的性质即可得到最大值和的值．
对照比较，即可得到答案．
 

20.【答案】 
解：由题意知．
由，即，解得，
由知，从第三年开始盈利．                                                 
年平均纯利润，当且仅当时等号成立．                   
即第年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为万元．
 

【解析】本题考查函数的实际应用，等差数列的应用，等差数列求和，基本不等式的应用，考查计算能力．
求出前年的纯利润总和的表达式，
由，求解即可．
年平均纯利润，利用基本不等式求解最值即可．
 

21.【答案】解：据题意，各层鲜花盆数构成等差数列，且，其前项和为，

，
故摆放一个这样的花坛共需要盆鲜花．

【解析】本题考查等差数列的实际应用，属于基础题．
由题意得出各层鲜花盆数构成等差数列，且，其前项和为，由等差数列的求和公式可得答案．
 

22.【答案】解：由题意得：每一年的植被栽种公顷数构成一个等差数列，
设该等差数列为，则，公差，
设数列的前项和为，
则根据等差数列的前项和公式得：
．
故年后该农场共栽种植被公顷．
 

【解析】本题主要考查了等差数列的求和，等差数列的应用，属于基础题．
由题意得每一年的植被栽种公顷数构成一个等差数列，根据等差数列的前项和公式可得结果．
 

23.【答案】解：由已知，得写字楼最下面一层的建筑费用为元万元，
从第二层开始，每层的建筑费用比其下面一层多元万元，
分析题意，可得写字楼从下到上各层的建筑费用构成以万元为首项，万元为公差的等差数列，
所以函数表达式为

由，知写字楼每平方米的平均开发费用为




元，
当且仅当，即时等号成立．
答：该写字楼建层时，每平方米的平均开发费用最低．
 

【解析】本题考查等差数列模型的构建，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

由已知，确定写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以万元为首项， 万元为公差的等差数列，从而可得函数表达式；
由，求出写字楼每平方米平均开发费用的函数表达式，利用基本不等式，即可求得每平方米平均开发费用最低时的楼层数．