高中人教A版 (2019)第四章 数列4.2 等差数列优秀当堂检测题

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 数列4.2 等差数列优秀当堂检测题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等比数列an的前n项和为Sn，且S5=3，S10=9，则S15=（ ）
A．20B．21C．22D．23
2．等差数列an中，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是（ ）
A．a11B．a12C．a14D．a15
3．已知正项数列an中，a1=1，a2=2，an=an+12+an−122n≥2，则a6=（ ）
A．22B．4C．16D．45
4．已知等差数列an的前n项和为Sn，S23<0，S24>0，则当Sn取得最小值时，n的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．已知数列an的前n项和为Sn，Sn=n2an，a1=1，则Sn=（ ）
A．2nn+1B．2n2n+12C．n22n−1D．n22n−1
6．已知等差数列an满足a2=3，Sn−Sn−3=51（n>3），Sn=100，则n的值为（ ）
A．8B．9
C．10D．11
7．已知数列an满足：a1=1，a2=1，an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，若将数列an的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n段圆弧所在正方形的面积之和为Sn，第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn.现有如下命题：
p1：Sn+1=an+12+an+1⋅an；
p2：a1+a3+⋯+a2n−1=a2n−1；
p3：a1+a2+a3+⋯+an=an+2−1；
p4：4cn−cn−1=πan+1⋅an−2.
则下列选项为真命题的是（ ）
A．¬p1∧p2B．¬p1∨¬p3C．¬p2∧¬p3D．p2∨p4
8．若数列an各项均为正数，且an+12−an+1=an(n=1,2,3,⋯)，则下列结论错误的是（ ）
A．对任意n≥2，都有an>1
B．数列an可以是常数列
C．若0D．若a1>2，则当n≥2时，2二、多选题
9．已知数列2,5,8,11,⋯，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是3n−1B．52是它的第17项
C．此数列的通项公式是3n+1D．52是它的第18项
10．对于数列an，若存在正整数k(k≥2)，使得ak>ak−1,ak>ak+1，则称ak是数列an的“峰值”，k是数列an的“峰值点”，在数列an中，若an=n+8n−9，下面哪些数不能作为数列an的“峰值点”？（ ）
A．1B．3C．6D．12
11．已知正项数列an满足an+1=1+11+ann∈N∗，则下列说法正确的是（ ）
A．若a1=2，则∀n∈N∗，an=2
B．∃a1>0，使an单调递增
C．∃M∈(0,1)，使an+2−an+1≤Man+1−an
D．若a1≠2，则数列an中有无穷多项大于2
三、填空题
12．在等比数列an中，a1=1 , a2=2，则a4= .
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S6S8，则下列结论中正确的有 ．（填序号）
①此数列的公差d<0； ②S9③a7是数列{an}的最大项； ④S7是数列{Sn}中的最小项．
14．已知函数fx={2x−1,x≤0fx−2+1,x>0，把函数gx=fx−12x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和Sn，S10=_________．
四、解答题
15．根据数列an的递推公式，写出它的前4项．
(1)an=−2an−1+1n≥2,n∈Na1=1
(2)an+2=2an+an+1n≥1,n∈Na1=1,a2=1
16．数列{an}中an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1，又bn=2an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和.
17．设an是公差不为0的等差数列，a1=2,a7为a3,a17的等比中项．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn．
18．已知fx=a⋅bx（a,b∈R且b>0），且满足f3+f1⋅f5=6，f6=16.
(1)求函数y=fx的解析式；
(2)函数y=gxx>0满足条件fgx=x，若存在实数x，使得gx+1、gλx、gx+2成等差数列，求正实数λ的取值范围.
19．已知Sn为数列an的前n项和，且2Sn=nan+n(n∈N∗)，若a2=2，bn=n+2anan+12n，Tn是bn的前n项和，求Tn.
参考答案：
1．B
【分析】根据等比数列片段和的性质可求S15的值.
【详解】因为an为等比数列，其前n项和为Sn，
故S5,S10−S5,S15−S10为等比数列，故3,6,S15−9为等比数列，
故3S15−9=36，故S15=21，
故选：B.
2．A
【分析】根据已知可得a11=15，再由条件可知抽走的项为15，即可求出结论.
【详解】等差数列an中，它的前21项的平均值是15，
则前21项和为21×15，而S21=21(a1+a21)2=21a11=21×15，
a11=15，又从中抽走1项，余下的20项的平均值是15，
所以抽走的项为21×15−20×15=15=a11.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列的前n项和，灵活应用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题.
3．B
【分析】分析可知数列an2为等差数列，求出该数列的公差，即可求得a6的值.
【详解】对任意的n∈N∗，an>0，因为an=an+12+an−122n≥2，则an2=an+12+an−122，
故数列an2为等差数列，其公差为d=a22−a12=3，∴a62=a12+5d=16，∴a6=4.
故选：B.
4．B
【分析】将等差数列的前23和24项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当Sn取得最小值时n的值.
【详解】由题意，S23=23a1+a232=23a12<0，∴a12<0，
S24=24(a1+a24)2=12(a12+a13)>0，∴a12+a13>0，
则等差数列an满足a12<0，a13>0，
可得公差d=a13−a12>0，
∴数列an为递增数列，且当1≤n≤12，n∈N*时，an<0，
当n≥13，n∈N*时，an>0，
∴当Sn取得最小值时，n的值为12．
故选：B．
5．A
【分析】根据Sn与an的关系可得an+1an=nn+2，再利用累乘法即可得an=2(1n−1n+1)，进而利用裂项相消法求和即可.
【详解】当n≥2时，Sn=n2an,
则Sn+1=(n+1)2an+1,
且S2=22a2，即1+a2=4a2，所以a2=13.
两式作差得Sn+1−Sn=(n+1)2an+1−n2an，
即an+1=(n+1)2an+1−n2an，即n+2an+1=nan，
所以an+1an=nn+2，即anan−1=n−1n+1n≥2.
则an=anan−1·an−1an−2·an−2an−3·…a3a2·a2=n−1n+1·n−2n·n−3n−1·…24·a2=2nn+1=2(1n−1n+1).
所以Sn=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式的常用方法.
（1）由Sn与an的关系求解.
（2）累加法.
（3）累乘法.
（4）构造法.
6．C
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列式即可求解
【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，
a2=3 ⇒ a1+2d=3①
Sn−Sn−3=51 ⇒ an−2+an−1+an=3a1+3n−6d=51 ⇒a1+n−2d=17②
Sn=100 ⇒ na1+nn−12d=100③
联立①②③，解得n=10,
故选：C.
7．D
【分析】命题p1，可以取n=1、n=k和n=k+1去验证是否成立；命题p2，可以通过对n进行取值验证；命题p3，可通过叠加的方法来进行推导；命题p4，可以通过题意写出cn的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择.
【详解】因为a1=1，a2=1，an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，
p1，Sn+1=an+12+an+1⋅an，
当n=1时，S2=a22+a2⋅a1=2，而a1+a2=2成立，
假设当n=k时，Sk+1=ak+12+ak+1⋅ak，
那么当n=k+1时，Sk+2=Sk+1+ak+22=ak+22+ak+12+ak+1⋅ak=ak+22+ak+1(ak+1+⋅ak)=ak+22+ak+1⋅ak+2，
则当n=k+1时，等式也成立，
所以对于任意n∈N∗，Sn+1=an+12+an+1⋅an成立，故该命题正确；
p2，由题意可得a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，
a1+a3+⋯+a2n−1=a2n−1，当n=2时，a1+a3=3≠a4−1，该命题错误；
p3，a1=a1，a2=a3−a1，a3=a4−a2,⋯,an=an+1−an−1，叠加得：a1+a2+a3+⋯+an=an+2−a2=an+2−1，故该命题正确；
p4，由题意可知cn=π4an2，所以4cn−cn−1=4·π4(an2−an−12)=π(an−an−1)(an+an−1)=πan+1⋅an−2，故该命题正确；
所以选项A，¬p1∧p2为假命题；选项B，¬p1∨¬p3为假命题；选项C，¬p2∧¬p3为假命题；选项A，p2∨p4为真命题.
故选：D.
8．C
【分析】先求得an+1与an的递推关系式，利用差比较法、换元法，结合二次函数的知识以及差比较法求得正确答案.
【详解】由an+12−an+1=an得an+12−an+1−an=0，
Δ=1+4an，依题意an>0，所以Δ=1+4an>1>0，
由于1−1+4an<0，所以可由an+12−an+1−an=0，
解得an+1=1+1+4an2，负根舍去，
A选项，由于1+4an>1，所以an+1=1+1+4an2>1+12=1，所以A选项正确；
an+1−an=1+1+4an2−an=12+1+4an2−an①，
B选项，若12+1+4an2−an=0，解得an=2，
此时an是常数列，所以B选项正确；
令y=12+1+4x2−xx>0，令t=1+4x>1,x=t2−14，
则y=12+12t−t24+14=−t+1t−34=−t−12+44，
所以当10；当t>3时，y<0，
所以当t>3时，an是单调递减数列，
即1+4an>3,an>2，所以C选项错误；
同时，an+1=1+1+4an2>1+32=2，
则当n≥2时，2故选：C
【点睛】根据递推关系研究数列的性质，关键点是根据递推关系的结构，选择恰当的分析方法.如本题中，已知递推关系an+12−an+1=an是形如一元二次方程的形式，所以可以考虑利用一元二次方程的知识来进行求解.研究数列的单调性，可以考虑利用差比较法来进行求解.
9．AB
【分析】先猜想出通项公式，然后确定52是第几项.
【详解】依题意，2,5,8,11,⋯，
所以an=3n−1，
令an=3n−1=52，
解得n=17，所以52是它的第17项.
故选：AB
10．ACD
【分析】由数列的通项公式求出各可能“峰值点”附近的值，然后根据题意进行求解即可．
【详解】因为an=n+8n−9，所以a1=0,a2=3,a3=103,a4=3,a5=125,a6=53,a7=67，
a11=3011,a12=113,a13=6013，只有a3>a2,a3>a4，所以“3”是“峰值点”，其它选项不是．
故选：ACD．
11．ACD
【分析】直接由递推关系式依次计算a2,a3,⋯即可判断A选项；由an+1=1+11+an和an+2=1+11+an+1作差得到an+2−an+1=an−an+11+an+11+an进而得到an+2−an+1和an+1−an异号即可判断B选项；由an+2−an+1an+1−an=11+an+11+an<1即可判断C选项；分02结合递推关系式依次判断an和2的大小即可判断.
【详解】对于A，若a1=2，则a2=1+11+a1=1+2−1=2，a3=1+11+a2=1+2−1=2
，⋯,an=1+11+an−1=1+2−1=2，即∀n∈N∗，an=2，A正确；
对于B，由an+1=1+11+an可得an+2=1+11+an+1，两式相减得an+2−an+1=11+an+1−11+an=an−an+11+an+11+an，
由1+an+11+an>0可得an+2−an+1an−an+1>0，若an+2>an+1，则an+1若an+2an，故an不具有单调性，B错误；
对于C，若an+1=an，由an+1=1+11+an解得an=2，显然an+2−an+1≤Man+1−an恒成立；
若an+1≠an，由上知：an+2−an+1=an−an+11+an+11+an，可得an+2−an+1an−an+1=11+an+11+an，an+2−an+1an−an+1=11+an+11+an，又an为正项数列，1+an+11+an>1，可得an+2−an+1an+1−an=11+an+11+an<1，
即存在M∈(0,1)，使an+2−an+1an+1−an≤M，故C正确；
对于D，若01+2−1=2，a3=1+11+a2<1+2−1=2，⋯，可知n为偶数时，an>2；
若a1>2，则a2=1+11+a1<1+2−1=2，a3=1+11+a2>1+2−1=2，⋯，可知n为奇数时，an>2；
故a1≠2时，数列an中有无穷多项大于2，D正确.
故选：ACD.
12．8
【分析】先求q,再求值即可
【详解】设等比数列an的公比为q,由题意得q=a2a1=2，则a4=a1q3=1×23=8.
【点睛】本题考查等比数列通项公式，熟记通项公式，准确计算是关键，是基础题
13．①②
【分析】根据已知条件和等差数列相关性质进行判断即可.
【详解】因为S6因为S7>S8，所以S8−S7=a8＜0，
所以等差数列{an}的公差d=a8−a7<0，故①正确；
根据等差数列的性质，S9−S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以S9由等差数列{an}的公差d<0可知，该数列单调递减，所以a1是数列{an}的最大项，故③错误；
由a7＞0，a8＜0，公差d<0可知S7是数列{Sn}中的最大项，故④错误；
故答案为：①②
14．90
【分析】根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．
【详解】当0当2当4当6以此类推, 当2n∴函数fx=2x的图象与直线y=12x+1的交点为: 0,1和−1,12,
由于指数函数fx=2x为增函数且图象下凸, 故它们只有这两个交点.
将函数fx=2x和y=12x+1的图象同时向下平移一个单位, 即得到函数fx=2x−1 和y=12x的图象,
取x≤0的部分, 可见它们有两个交点0,0, −1,−12.
即当x≤0时, 方程 fx−12x=0 有两个根x=−1,x=0;
当0以此类推, 函数y=fx与y=12x在2,4, 4,6,⋯,2n,2n+2上的零点分别为:
3,4;5,6;⋯;2n+1,2n+2;
综上所述,函数gx=fx−12x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为:
0,2,4,⋯,
其通项公式为: an=2n−1, 前10项的和为S10=10×0+10×92×2=90.
故答案为：90.
15．(1)a1=1，a2=−1，a3=3，a4=−5；
(2)a1=1，a2=1，a3=3，a4=5
【分析】利用递推式可得答案.
【详解】（1）a1=1，
a2=−2a1+1=−1，
a3=−2a2+1=3，
a4=−2a3+1=−5；
（2）a1=1，a2=1，
a3=2a1+a2=3，
a4=2a2+a3=5.
16．8nn+1
【解析】先求出an=n2，再得bn=8(1n−1n+1)，利用裂项相消法即可得解.
【详解】∵an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1=n2，
∴bn=2n2⋅n+12=8(1n−1n+1)，
∴Sn=8×[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]
=8×(1−1n+1)=8nn+1.
【点睛】本题主要考查了裂项相消法求解，属于基础题.
17．(1)an=3n−1
(2)n23n+2
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算即得；
（2）利用裂项相消法即得.
【详解】（1）设an的公差为dd≠0，因为a1=2,a7为a3,a17的等比中项，
所以2+6d2=2+2d2+16d，
解得：4d2=12d，
因为d≠0，所以d=3，
故an=2+3n−1=3n−1；
（2）因为bn=1anan+1=13n−13n+2=1313n−1−13n+2，
所以Sn=1312−15+1315−18+⋅⋅⋅+1313n−1−13n+2=1312−13n+2=n23n+2.
18．(1)fx=2x−2
(2)0<λ<1
【分析】（1）直接将函数fx=a⋅bx代入f3+f1⋅f5=6，f6=16计算即可；
（2）先求出y=gxx>0的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可.
【详解】（1）由题可知，ab3+ab·ab5=6ab6=16 ，
解得a=14b=2，所以fx=14⋅2x=2x−2；
（2）由题可知2gx−2=x，得gx=lg2x+2，
所以gx+1=lg2x+1+2,gλx=lg2λx+2,gx+2=lg2x+2+2，
若存在实数x使gx+1、gλx、gx+2为等差数列，可得gx+1+gx+2=2gλx，
即若存在实数x，lg2x+1+2+lg2x+2+2=2lg2λx+2，
显然x>−1,λx>0，
因为λ>0，所以x>0，
化简得1−λ2x2+3x+2=0 ，
故该方程在0,+∞有解即可，
当λ=1时，得3x+2=0⇒x=−23，不符合题意；
当λ≠1时，得1−λ2x2+3x+2=0，
可得Δ=9−41−λ2×2=1+8λ2>0，
解得x=−3±1+8λ221−λ2，
所以只需−3+1+8λ221−λ2>0或−3−1+8λ221−λ2>0即可，
得−3+1+8λ221−λ2>0无解；−3−1+8λ221−λ2>0，解得λ2<1
又因为λ>0，所以得0<λ<1.
19．Tn=1−1n+1⋅2n
【分析】
首先利用公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，化简等式，得到n−2an=n−1an−1−1n≥2，再得到n−1an+1=nan−1，两式相减后，可判断数列an是等差数列，求得数列an的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
因为2Sn=nan+n，①所以2Sn−1=n−1an−1+n−1，n≥2，②
①-②相减得2an=nan+n−n−1an−1−n−1，n≥2
所以n−2an=n−1an−1−1n≥2，③
所以n−1an+1=nan−1，④
④-③得n−1an+1−n−2an=nan−n−1an−1，n≥2，
所以2n−1an=n−1an−1+n−1an+1
所以2an=an−1+an+1,n≥2，所以an为等差数列，
因为2S1=a1+1=2a1，所以a1=1，
又a2=2，所以数列an的公差d=1，
所以an=n，bn=n+2nn+12n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n，
所以Tn=1−14+14−112+...+1n⋅2n−1−1n+1⋅2n=1−1n+1⋅2n.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
A
C
D
C
AB
ACD
题号
11









答案
ACD