人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀巩固练习

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4.2.1 等差数列的概念
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断是否为等差数列；用定义法求等差数列通项公式；等差数列通项公式基本量计算；等差中项；等差数列的性质；等差数列的单调性；等差数列的最大（小）项；利用等差数列通项公式求等差数列中的项
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：①；②．
通项公式特点：
是数列成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列
4、等差数列的基本性质
（1）。
（2）
（3）
5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
考点讲解

考点讲解


考点1：判断是否为等差数列
1．下列数列中，不成等差数列的是（    ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a D．，，，
【答案】B
【详解】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，
对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，
对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，
对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，
故选：B

【方法技巧】
根据等差数列的定义逐个分析判断即可.
【变式训练】
1．“a，b，c成等差数列”是“”的（    ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．
【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；
若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，
综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，
故选：C．
2．数列满足，且，则它的通项公式______．
【答案】##
【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.
【详解】因数列满足，即，
因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
3．在等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
【答案】(1)8082
(2)2022是数列中的第506项

【分析】（1）根据条件求出数列的通项公式即可求解；
（2）令可求解.
(1)
由题意，设等差数列的首项为，公差为．
由，，即解得
所以，数列的通项公式为．
所以．
(2)
令，解得，所以，2022是数列中的第506项．
考点2：用定义法求等差数列通项公式
例2．在等差数列中，，，则的通项公式______．
【答案】##
【详解】设数列的公差为d，由题意得：，解得：，所以.
故答案为：

【方法技巧】
由等差数列的通项公式列方程组即可求解.

【变式训练】
1．已知数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】因为，所以．
又，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．
故选：D．
2．设是等差数列，且，，则___________.
【答案】81
【分析】根据等差数列通项即可求解.
【详解】因为，所以，又，所以公差，从而.
故答案为：81
3．在数列中，，，则______．
【答案】200
【分析】先由等差数列的定义求得数列是等差数列，进而求得的通项公式，即可求解.
【详解】由，得，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，所以，则．
故答案为：200.

考点3：等差数列通项公式基本量计算
例3．已知数列{an}与均为等差数列（），且a1＝2，则a20＝________．
【答案】40
【详解】设等差数列{an}的公差为d，则an＝2＋(n－1)d，＝，
∵为等差数列，其前三项是，
∴，即d2－4d＋4＝0，解得：d＝2，
∴a20＝2＋(20－1)×2＝40．
故答案为：40．

【方法技巧】
设等差数列{an}的公差为d，写出数列的前三项，根据数列为等差数列，列出d的方程，求解出d，即可求出a20．

【变式训练】
1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由求得公差.
【详解】依题意，等差数列的通项公式，
，
所以公差为.
故选：D
2．已知数列为等差数列，若，则（    ）
A．4     B．6     C．12     D．16
【答案】C
【分析】利用已知条件求出的关系，再利用等差数列的通项公式可求得结果.
【详解】设数列的公差为，
因为，所以，即，
所以，
故选：C
3．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．
【答案】﹣4
【分析】根据等差数列首项和第3项的值得到公差，进而得到第11项，从而求解a11的值.
【详解】因为数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，
所以数列的公差d，
所以（11﹣1）×（），
则a11＝﹣4．
故答案为：﹣4．
4．设是等差数列， 且，若，则______.
【答案】20
【分析】利用等差数列的性质求出和，然后根据列方程求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以公差，从而，解得.
故答案为：20.


考点4：等差中项
例4．若b是2，8的等差中项，则______；
【答案】
【详解】由题意，若b是2，8的等差中项，则
故答案为：

【方法技巧】
根据等差中项的性质求解即可
【变式训练】
1．在等差数列中，，则（    ）
A．14 B．16 C．18 D．28
【答案】A
【分析】利用等差数列等差中项求解即可.
【详解】因为等差数列中，，
，
故选：A.
2．设是等差数列，且，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.
【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，
，.
故选：C.
3．与的等差中项是______．
【答案】##
【分析】根据等差中项的性质求解即可.
【详解】解：设与的等差中项是，
则
故答案为：
4．若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．
【答案】3
【分析】利用等差中项的性质列方程组求参数m、n，即可得结果.
【详解】由题设，，可得，
所以，故m和n的等差中项是3.
故答案为：3

考点5：等差数列的性质
例5．等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（    ）
A．45 B．75 C．180 D．300
【答案】C.
【详解】∵{an}为等差数列，则，即
∴
故选：C.

【方法技巧】
根据等差数列性质：若，则，运算求解
【变式训练】
1．若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”．已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的（    ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】由得到为常数列，从而，故是等方差数列，充分性成立，再由是等方差数列，也是等差数列，得到，结合，分析出，，必要性得证.
【详解】若，则为常数列，满足，所以是等方差数列，充分性成立，
因为是等方差数列，所以，则，
因为数列是公差为m的等差数列，所以，
所以，由于,
当时，随着的改变而改变，
不是定值，不合要求，
当时，为定值，此时满足题意，
综上必要性成立.
故选：C
2．在等差数列中，若，则______．
【答案】180
【分析】利用等差中项的性质即可求值.
【详解】由，故，
所以，则.
故答案为：
3．是等差数列，且，则______．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为是等差数列，且，
所以，所以，
所以，
故答案为：

考点6：等差数列的单调性
例6．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
【答案】B
【详解】等差数列的图象所在直线的斜率，
则直线呈下降趋势，故数列单调递减.
故选：B.

【方法技巧】
利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.

【变式训练】
1．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.

2．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
3．已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当n为何值时，最小？
【答案】(1)从第23项开始出现负数
(2)当时最小

【分析】（1）依据等差数列的通项公式即可解决；
（2）依据等差数列的通项公式，再以分段函数求最值即可解决.
(1)
等差数列的首项，公差
则
由，得，即从第23项开始出现负数.
(2)
由等差数列的通项公式
可得
在时取最小值为
在时取最小值为
则在时取最小值为

考点7：等差数列的最大（小）项
例7．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
【答案】A
【详解】由，即，解得，因为,故.
故选：A.

【方法技巧】
结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.

【变式训练】
1．设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据题目所给含有绝对值的式子分析可知绝对值等于本身，故，即，由此得到最大的的值.
【详解】根据题意可知，是非负数，故，故的最大值为.所以选.
【点睛】本题主要考查对题目所给还有绝对值的式子进行分析，得到关键点是数列中为非负数的项.根据数列的通项公式可求得的最大值.
2．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.
【答案】-1
【分析】根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an