高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课后测评，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.2　4.2.1　第1课时

A组·素养自测
一、选择题
1．如果2，a，b，c，10成等差数列，那么c－a＝(　C　)
A．1　　 B．2
C．4　　 D．8
[解析]　设等差数列的公差为d，则10－2＝4d，解得d＝2，所以c－a＝2d＝4，故选C．
2．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的(　B　)
A．第60项　　 B．第61项
C．第62项　　 D．第63项
[解析]　设公差为d，由题意，得，
解得.
∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.
令201＝3n＋18，∴n＝61.
3．已知等差数列{an}满足a3＝5，a5＝3a2，则a1＝(　A　)
A．1　　 B．－1
C．2　　 D．0
[解析]　设{an}的公差为d，由解得a1＝1，d＝2.
4．等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为(　B　)
A．1　　 B．2
C．　　 D．
[解析]　设公差为d，由题意，得
，解得.
5．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　B　)
A．40　　 B．42
C．43　　 D．45
[解析]　设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　C　)
A．a＝－b　　 B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b　　 D．a＝b＝0
[解析]　由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
∴＝，
即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝__－2n＋3__．
[解析]　设公差为d，由题意，得
a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，
∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．
[解析]　设此等差数列为{an}，公差为d，则
，
∴，解得.
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析]　设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3.
∴这三个数分别为3－d，3，3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.
∴这三个数分别为4，3，2.
10．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析]　因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1，5，9或7，5，3.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　C　)
A．2　　 B．
C．1　　 D．
[解析]　因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
2．(多选题)下列命题中正确的个数是(　BCD　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
[解析]　对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错；对于B，取a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确，对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确．对于D，取a＝b＝c≠0，则＝＝，D正确．
3．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是(　D　)
A．d>　　 B．d<
C． [解析]　由题意，∴，
∴ 4．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(＋1)2－2，则下列说法正确的是(　ABC　)
A．a2＝7　　 B．数列{an}为递增数列
C．an＝n2＋2n－1　　 D．数列{an}为周期数列
[解析]　∵数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(＋1)2－2，
∴an＋2＝(＋1)2，
∴＝＋1，
即数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列．
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝n2＋2n－1，所以易知ABC正确，D错误．故选ABC．
二、填空题
5．等差数列{an}，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为__an＝38－5n__．
[解析]　由题意可得
即，
解得－ ∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.
6．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为__an＝2n－1__．
[解析]　由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
三、解答题
7．已知数列{an}满足a1＝1，＝，an>0，求an.
[解析]　因为＝，
所以＝2＋，－＝2.
所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又an>0，所以an＝(n∈N＋)．
8．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
[解析]　因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.