高中数学4.2 等差数列第1课时当堂检测题

这是一份高中数学4.2 等差数列第1课时当堂检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( A )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
2．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( A )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
[解析] 由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2.故选A．
3．在两个实数a，b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( C )
A．eq \f(b－a,n) B．eq \f(a－b,n＋1)
C．eq \f(b－a,n＋1) D．eq \f(b－a,n＋2)
[解析] b是等差数列的第n＋2项．由等差数列的通项公式，得b＝a＋(n＋2－1)d，解得d＝eq \f(b－a,n＋1).
4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( B )
A．40 B．42
C．43 D．45
[解析] 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
5．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( C )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
[解析] 由等差中项的定义知：x＝eq \f(a＋b,2)，x2＝eq \f(a2－b2,2)，
∴eq \f(a2－b2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，
即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
二、填空题
6．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝ －eq \f(1,2) .
[解析] 方法一：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－eq \f(1,2).
方法二：a7＝a3＋4d＝4d，a4＝a3＋d＝d，代入条件即可得d.
7．已知f(n＋1)＝f(n)－eq \f(1,4)(n∈N*)，且f(2)＝2，则f(101)＝ －eq \f(91,4) .
[解析] ∵{f(n)}为等差数列，公差为－eq \f(1,4)，
∴f(1)＝f(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝2＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4).
∴f(101)＝f(1)＋100·d＝eq \f(9,4)＋100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－eq \f(91,4).
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 eq \f(67,66) 升．
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))
∴a5＝a1＋4d＝eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)＝eq \f(67,66).
三、解答题
9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3.
∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.
∴这三个数分别为4,3,2.
10．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析] 因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的个数是( BCD )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)可能成等差数列
[解析] 对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错误；对于B，取a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确；对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确；对于D，取a＝b＝c≠0，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，D正确．
2．等差数列的首项为eq \f(1,25)，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( D )
A．d>eq \f(8,75) B．dC．eq \f(8,75)[解析] 由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10>1，,a9≤1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))
∴eq \f(8,75)3．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(eq \r(an－1＋2)＋1)2－2，则下列说法正确的是( ABC )
A．a2＝7 B．数列{an}为递增数列
C．an＝n2＋2n－1 D．数列{an}为周期数列
[解析] ∵数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(eq \r(an－1＋2)＋1)2－2，
∴an＋2＝(eq \r(an－1＋2)＋1)2，
∴eq \r(an＋2)＝eq \r(an－1＋2)＋1，
即数列{eq \r(an＋2)}是首项为eq \r(a1＋2)＝2，公差为1的等差数列．
∴eq \r(an＋2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝n2＋2n－1，所以易知ABC正确，D错误．故选ABC．
二、填空题
4．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8.若p－q＝10，则ap－aq＝_10__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1＝1，且a2＋a6＝a8，∴2＋6d＝1＋7d，解得d＝1.若p－q＝10，则ap－aq＝10d＝10.
5．等差数列{an}，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为_an＝38－5n__.
[解析] 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))
解得－eq \f(33,6)∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.
三、解答题
6．已知f(x)＝eq \f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq \f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值．
[解析] 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝eq \f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得eq \f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,2)(n≥2)．
又eq \f(1,x1)＝3，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列，所以eq \f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n＋5,2)，
所以xn＝eq \f(2,n＋5)，所以x95＝eq \f(2,95＋5)＝eq \f(1,50).
C 组·探索创新
已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)求{an}的通项公式；
(2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？
(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？
[解析] (1)设数列{an}的公差为d，
依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，
∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1(n∈N*)．
(2)令4n－1＝135，得n＝34，
∴135是数列{an}的项，是第34项．
∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，
∴4m＋19是数列{an}的项，是第m＋5项．
(3)∵am，at是数列{an}中的项，
∴am＝4m－1，at＝4t－1，
∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.
∵2m＋3t－1∈N*，
∴2am＋3at是数列{an}的项，是第2m＋3t－1项．