高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( A )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是an＝sineq \f(nπ,2)，也可以是an＝cseq \f(（n＋3）π,2)等等．
2．已知数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3n－1（n为奇数），,2n－2（n为偶数），))则a2a3的值是( D )
A．70 B．28
C．20 D．16
[解析] a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D．
3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为( B )
A．212 B．200
C．186 D．162
[解析] 由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
4．在数列1，2，eq \r(7)，eq \r(10)，eq \r(13)，…中，2eq \r(19)是这个数列的( C )
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
[解析] 数列各项可化为eq \r(1)，eq \r(3×1＋1)，eq \r(3×2＋1)，eq \r(3×3＋1)，eq \r(3×4＋1)，…，故an＝eq \r(3n－2)(n∈N*)．由eq \r(3n－2)＝2eq \r(19)可得n＝26，即2eq \r(19)是这个数列的第26项．
5．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋1)，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析] an＝eq \f(2n,n＋1)＝2－eq \f(2,n＋1)单调递增．故选A．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析] an＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(21,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(441,8)，因为n∈N*，5二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n＋1,3n－16)(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第__6__项．
[解析] an＝eq \f(n＋1,3n－16)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(19,3n－16)))，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
8．已知数列{an}满足a1<0，eq \f(an＋1,an)＝2(n∈N*)，则数列{an}是__递减__数列(填“递增”或“递减”)．
[解析] 由已知a1<0，an＋1＝2an(n∈N*)，得an<0(n∈N*)．又an＋1－an＝2an－an＝an<0，所以{an}是递减数列．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－eq \f(1,1＋1)，eq \f(1,4＋1)，－eq \f(1,9＋1)，eq \f(1,16＋1)，…；
(2)2，3，5，9，17，33，…；
(3)eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，eq \f(3,10)，eq \f(4,17)，eq \f(5,26)，…；
(4)1，eq \f(4,3)，2，eq \f(16,5)，…；
(5)－eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，…；
(6)2，6，12，20，30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·eq \f(1,n2＋1).
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,11＋1)，a2＝eq \f(2,5)＝eq \f(2,22＋1)，a3＝eq \f(3,10)＝eq \f(3,32＋1)，a4＝eq \f(4,17)＝eq \f(4,42＋1)，…，
∴an＝eq \f(n,n2＋1).
(4)a1＝1＝eq \f(2,2)，a2＝eq \f(4,3)，a3＝2＝eq \f(8,4)，a4＝eq \f(16,5)，…，
∴an＝eq \f(2n,n＋1).
(5)a1＝－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,1×3)，a2＝eq \f(1,8)＝eq \f(1,2×4)，a3＝－eq \f(1,15)＝－eq \f(1,3×5)，a4＝eq \f(1,24)＝eq \f(1,4×6)，
∴an＝(－1)n·eq \f(1,n（n＋2）).
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，
∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析] ∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.
B组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
2．数列eq \f(3,2)，－eq \f(5,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(9,16)，…的一个通项公式为( D )
A．an＝(－1)neq \f(2n＋1,2n)
B．an＝(－1)neq \f(2n＋1,2n)
C．an＝(－1)n＋1eq \f(2n＋1,2n)
D．an＝(－1)n＋1eq \f(2n＋1,2n)
[解析] a1＝eq \f(3,2)排除A、B；a3＝eq \f(7,8)排除C，故选D．
3．(多选题)若数列{an}满足an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an，0≤an≤\f(1,2),2an－1，\f(1,2)A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(6,5)
[解析] 根据题意，依次取n＝1，2，3，4，…代入递推公式得a2＝eq \f(1,5)，a3＝eq \f(2,5)，a4＝eq \f(4,5)，a5＝eq \f(3,5)＝a1，故数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为eq \f(1,5)，eq \f(2,5)，eq \f(3,5)，eq \f(4,5)，故选ABC．
4．(多选题)已知数列1，0，1，0，…，可猜想此数列的通项公式是( CD )
A．an＝1＋(－1)n－1(n∈N*)
B．an＝eq \f(1,2)[1＋(－1)n](n∈N*)
C．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n是正奇数,0，n是正偶数))
D．an＝eq \f(1,2)(1－cs nπ)(n∈N*)
[解析] 对于A选项，a1＝1＋(－1)0＝2≠1，不合题意；对于B选项，a1＝eq \f(1,2)×(1－1)＝0≠1，不合题意；对于C选项，满足数列1，0，1，0，…，符合题意；对于D选项，当n为奇数时，cs nπ＝－1，此时an＝eq \f(1,2)×(1＋1)＝1，当n为偶数时，cs nπ＝1，此时an＝eq \f(1,2)×(1－1)＝0，符合题意．故选CD．
二、填空题
5．已知数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，则a的取值范围为__(－2，1)__．
[解析] ∵数列：2a－1，a－3，3a－5为递减数列，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－1>a－3，,a－3>3a－5，))解得－2∴a的取值范围为(－2，1)．
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是__(2，3)__．
[解析] 由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x>7))的图象上，
因此当3－a>0时，a1当a>1时，a8为使数列{an}递增还需a7故实数a满足条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,f（7）故实数a的取值范围是(2，3)．
三、解答题
7．数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(3)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝eq \f(72,72＋1)＝eq \f(49,50).
(2)证明：∵an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)，
∴0(3)∵eq \f(1,3)又n∈N*，
∴n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有一项a1.
8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解析] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数．