人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.2　4.2.1　第2课时

A组·素养自测
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，a1＝－1，a5＝5，则a3＝(　B　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
[解析]　∵{an}为等差数列，∴a3＝＝2.
故选B．
2．等差数列{an}中，若a2＋a4＋a9＋a11＝32，则a6＋a7＝(　D　)
A．9　　 B．12
C．15　　 D．16
[解析]　因为{an}是等差数列，所以a2＋a4＋a9＋a11＝2(a6＋a7)＝32，则a6＋a7＝16.故选D．
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　A　)
A．无实根　　 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根　　 D．不能确定有无实根
[解析]　由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A．
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　B　)
A．120 　　 B．105
C．90 　　 D．75
[解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
5．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为(　C　)
A．13　　 B．14
C．15　　 D．16
[解析]　由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15.
6．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　C　)
A．14　　 B．15　　
C．16　　 D．17
[解析]　由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
二、填空题
7．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝__log25__．
[解析]　由题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5，即x＝log25.
8．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝__3n－1__．
[解析]　设公差为d，
∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由，解得或.
∵等差数列{an}是递增数列，
∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
[解析]　因为a1＋a5＝2a3，所以

⇒
解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析]　(1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7(n≥2)，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4(n≥2)，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝(　B　)
A．10　　 B．30　　
C．40　　 D．20
[解析]　解法一：设数列的公差为d.
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，
∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.
解法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.
2．(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　ACD　)
A．{an＋an＋1}　　 B．{a}
C．{an＋1－an}　　 D．{2an}
[解析]　设等差数列{an}的公差为d.对于A，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)，
所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列．同理可验证{an＋1－an}，{2an}也是等差数列．
3．现有一古题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”大致意思是：“现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤．”若从头到尾，该金箠每一尺的重量构成等差数列，则该问题的答案为(　D　)
A．6斤　　 B．7斤　　
C．8斤　　 D．9斤
[解析]　设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
4．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　C　)
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析]　先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3⇒a2>，选C．
二、填空题
5．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为__9__．
[解析]　依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤＝a＝9.当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．
6．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为__－__．
[解析]　∵a4＋λa10＋a16＝15，∴(λ＋2)a10＝15，
∴(λ＋2)(a1＋9d)＝15.
又a1＝1，∴λ＋2＋9(λ＋2)d＝15，∴λ＝－2.
∵d∈[1，2]，∴令t＝1＋9d，t∈[10，19]，因此λ＝f(t)＝－2，
当t∈[10，19]，函数f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－.
三、解答题
7．设数列{an}是等差数列，bn＝又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析]　∵b1b2b3＝，又bn＝，∴··＝.
∴＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，b2＝＝，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析]　在Sn＝－an－＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋，
∴2an＝an－1＋，即2nan＝2n－1an－1＋1，
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.