高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时同步训练题

4．2　等差数列

4．2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

知识点一  等差数列的定义

1.下列数列不是等差数列的是(　　)

A．6,6,6，…，6，…

B．－2，－1,0，…，n－3，…

C．5,8,11，…，3n＋2，…

D．0,1,3，…，，…

答案　D

解析　利用等差数列的定义去判断．故选D.

2．下列数列是等差数列的是(　　)

A.，，，  B．1，，，

C．1，－1,1，－1  D．0,0,0,0

答案　D

解析　∵－≠－，故排除A；∵－1≠－，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故选D.

3．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是(　　)

A．公差为－1的等差数列

B．公差为5的等差数列

C．首项为4的等差数列

D．公差为n的等差数列

答案　AC

解析　∵an＝－n＋5，∴a1＝－1＋5＝4，an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是首项为4，公差为d＝－1的等差数列．

4．若数列{an}是公差为1的等差数列，则数列{a2n－1＋2a2n}是(　　)

A．公差为3的等差数列  B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列  D．公差为9的等差数列

答案　C

解析　数列{an}是公差为1的等差数列，所以a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2＋2×2＝6，所以{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．故选C.

知识点二  等差数列的通项公式

5.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于(　　)

A．－9  B．－8

C．－7  D．－4

答案　B

解析　∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.

∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8.故选B.

6．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)

A．－2  B．－

C．  D．2

答案　B

解析　根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.

7．设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝(　　)

A．48  B．49

C．50  D．51

答案　C

解析　a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，∴d＝，又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50.

8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．

答案　3

解析　设等差数列的首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.

9．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝2n－1

解析　由an－1＋an＋1＝2an，

得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．

∴数列{an}是等差数列．

又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

10．已知{an}是等差数列且an>0，求证：＋＋…＋＝ .

证明　设等差数列{an}的公差为d.

①当d＝0时，a1＝a2＝…＝an＝an＋1，左边＝＝右边；

②当d≠0时，

左边＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝＝

＝＝＝右边．

综合①②知结论成立.

知识点三  等差中项及应用

11.已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　A

解析　设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，∴x＝，故选A.

12．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　)

A．a＝－b  B．a＝3b

C．a＝－b或a＝3b  D．a＝b＝0

答案　C

解析　由等差中项的定义知，x＝，x2＝，

∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.

知识点四  等差数列与函数的关系

13.已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．

(1)求这个数列的通项公式；

(2)画出这个数列的图象；

(3)判断这个数列的单调性．

解　(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5.由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.

(2)图象是直线y＝2x－1上一些离散的点，如图所示．

(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．

一、选择题

1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　)

A．2  B．3

C．－2  D．－3

答案　C

解析　因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2.故选C.

2．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　)

A．p＋q  B．0

C．－(p＋q)  D．

答案　B

解析　依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，

aq＝a1＋(q－1)d＝p，

∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.

∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.

3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)

A．an＝2n－2(n∈N*)

B．an＝2n＋4(n∈N*)

C．an＝－2n＋12(n∈N*)

D．an＝－2n＋10(n∈N*)

答案　D

解析　由⇒⇒

所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10.

4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－8，－6)  B．(－7，－6)

C．(－6，－5)  D．(6,7)

答案　B

解析　∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，

∴an＝n＋a－1.

∴bn＝＝1－.又对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，

可知≤，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，

∴－7＜a＜－6.故选B.

5．(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　ACD

解析　由题设可知an＝1＋(n－1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项，选ACD.

二、填空题

6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差为d1和d2，则的值为________．

答案　

解析　∵n－m＝3d1，d1＝(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．∴＝＝.

7．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长为________．

答案　12

解析　由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，

则解得b＝4，a＝3，c＝5，

∴a＋b＋c＝12.

8．已知等差数列{an}图象上的点都在直线y＝3x＋5上，且a5＝20，则{an}的通项公式为________．

答案　an＝3n＋5

解析　由已知，得等差数列{an}的公差为3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5.

三、解答题

9．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．

解　因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，

所以xn＝(n≥2)，

即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，

得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．

又＝3，

所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，

所以＝3＋(n－1)×＝，

所以xn＝，所以x95＝＝.

10．是否存在数列{an}(an≠0)同时满足下列条件：

①{an}是等差数列且公差不为0；

②数列也是等差数列．

解　设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差d≠0，则有an＝a1＋(n－1)d.

又因为也是等差数列，

所以－＝－，

即＝，

所以＝，所以a1＋2d＝a1.

所以d＝0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}．