人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课时练习

第四章　4.2　4.2.1　第1课时

A级——基础过关练

1．数列{an}满足an＋1＝an－3(n≥1)且a1＝7，则a3的值是(　　)

A．1 B．4

C．－3 D．6

【答案】A　【解析】因为an＋1＝an－3，所以an＋1－an＝－3，所以数列{an}为等差数列且公差为－3，a1＝7，所以an＝10－3n，则a3＝10－3×3＝1.

2．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2022，则该数列的首项为(　　)

A．－1 B．－2

C．1 D．2

【答案】B　【解析】由等差中项的定义知a1＋2022＝2×1010，∴a1＝－2.

3．在等差数列{an}中，若a4＝1，a8＝8，则a12的值是(　　)

A．15　 B．30

C．31　 D．64

【答案】A　【解析】由a4＝1，a8＝8，得a1＋3d＝1，a1＋7d＝8，解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.

4．(2021年嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则＝(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】C　【解析】因为d1＝＝，d2＝＝，所以＝.

5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝(　　)

A．45 B．43

C．42 D．40

【答案】C　【解析】在等差数列{an}中，∵a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.又∵a4，a5，a6为等差数列，且a5为a4和a6的等差中项，∴2a5＝a4＋a6，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.

6．(2022年成都模拟)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，雨水、惊蛰、春分、清明日影长之和为32尺，前七个节气日影长之和为73.5尺，则立夏日影长为(　　)

A．7.5尺　 B．6.5尺

C．5.5尺　 D．4.5尺

【答案】D　【解析】从冬至日起，日影长构成等差数列{an}，且a5＋a6＋a7＋a8＝32，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝73.5，所以解得a1＝13.5，d＝－1.故a10＝13.5－9×1＝4.5.

7．(多选)(2022年福州期末改编)已知等差数列{an}的公差为d，a3＝16，a5＝12，则(　　)

A．d＝－2

B．a1＝20

C．a4＋a6＝28

D．{2an＋3}是以－1为公差的等差数列

【答案】AB　【解析】因为a3＝16，a5＝12，所以解得故选项A，B正确；所以an＝a1＋(n－1)d＝22－2n，a4＋a6＝14＋10＝24，故C错误；因为2an＋3＝2(22－2n)＋3＝47－4n，所以{2an＋3}是以－4为公差的等差数列，故D错误．故选AB．

8．(2021年哈尔滨期末)用火柴棒按如图的方法搭三角形．

按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为________．

【答案】201　【解析】由图形可知，第一个图形用3根火柴棒，以后每一个比前一个多两根火柴棒，构成等差数列，数列的首项为3，公差为2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数为a100＝2×100＋1＝201.

9．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________．

【答案】0　【解析】∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，∴a(n＋1)2＋(n＋1)－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a＝0.

10．正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.

(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．

(2)求an.

解：(1)因为an＋1－＝an＋，

所以an＋1－an＝＋，

所以(＋)(－)

＝an＋1－an＝＋.

因为{an}是正项数列，

所以＋≠0，

所以－＝1，

所以{}是等差数列，公差为1.

(2)由(1)知，{}是等差数列，且d＝1，

所以＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)d＝n，

所以an＝n2.

B级——能力提升练

11．(多选)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中正确的是(　　)

A．{an＋1－an}是等差数列

B．{bn＋1－bn}是等差数列

C．{an－bn}是等差数列

D．{an＋bn}是等差数列

【答案】ABC　【解析】因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2，所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；因为bn＝n2－n，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，易知cn＋1－cn＝4n＋3，不是常数，故D错误．

12．(2022年山东模拟)设{an}是等差数列且公差不为0，下列结论中正确的是(　　)

A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0

B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0

C．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0

D．若0<a1<a2，则a2>

【答案】D　【解析】∵a1＋a2>0，∴a2＋a3＝(a1＋a2)＋2d，d的正负无法判断，a2＋a3正负无法判断，故A错误；∵a1＋a3<0，∴(a1＋a2)＋d<0，a1＋a2正负无法判断，故B错误；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2<0，故C错误；∵0<a1<a2＝a1＋d，∴d>0，则a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，即a2>，故D正确．

13．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________．

【答案】4n－3　【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得解得则an＝2n－1.由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，…，则{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，故bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.

14．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．

【答案】3　　【解析】设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3.因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝.

15．(2022年柳州月考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．

(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．

解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，

所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3，

从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.

(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：

由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，

得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．

若存在λ，使{an}为等差数列，

则a3－a2＝a2－a1，

即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，

于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，与{an}为等差数列矛盾，

所以不存在λ使{an}是等差数列．