高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时课后作业题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.2　4.2.2　第2课时

A组·素养自测
一、选择题
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　A　)
A．15　　 B．16
C．49　　 D．64
[解析]　a8＝S8－S7＝82－72＝15.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于(　A　)
A．4　　 B．2
C．1　　 D．－2
[解析]　S1＝2(a1－1)，
即a1＝2a1－2，解得a1＝2.
a1＋a2＝2(a2－1)解得a2＝4.
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　D　)
A．8　　 B．7
C．6　　 D．5
[解析]　Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2ak＋1＋2＝24.
故ak＋1＝2k＋1＝11.
∴k＝5.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　∵a5＝5，S5＝15，
∴＝15，∴a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列的前100项的和为：T100＝＋＋…＋＝1－＝.
故选A．
5．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　C　)
A．11　　 B．99
C．120　　 D．121
[解析]　因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
令－1＝10，解得n＝120.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为(　D　)
A．61　　 B．62
C．65　　 D．67
[解析]　对n分情况讨论当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋…＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为__an＝__．
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n－1.
当n＝1时不满足上式，故an＝
8．(2022·复旦附中高一检测)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝__10__．
[解析]　根据等差数列的性质，可得am－1＋am＋1＝2am.
又am－1＋am＋1－a＝0，则2am＝a，
解得am＝0(舍去)或am＝2.
则S2m－1＝＝(2m－1)am，∴4m－2＝38，
所以m＝10.
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1.
(1)写出数列的前5项；
(2)数列{an}是等差数列吗？说明理由；
(3)写出{an}的通项公式．
[解析]　(1)∵Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝3，a2＝S2－S1＝7－3＝4，a3＝S3－S2＝13－7＝6，a4＝S4－S3＝21－13＝8，a5＝S5－S4＝31－21＝10.
(2)由(1)可知，a2－a1＝4－3＝1，a3－a2＝6－4＝2，
∴a3－a2≠a2－a1，∴数列{an}不是等差数列．
(3)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]
＝2n(n≥2)，a1＝S1＝3，
∴数列{an}的通项公式为an＝
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析]　(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
从而数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于(　A　)
A．－2　　　　　 B．0　　　
C．1　　　　　 D．2
[解析]　∵an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，
∴an＋1＋an－1＝a，
∵{an}为等差数列．
∴an＋1＋an－1＝2an＝a.
∴an＝2或an＝0(舍)
∴S2n－1－4n＝2×(2n－1)－4n＝－2.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝16，Sm＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，则m的值是(　B　)
A．4　　 B．5
C．6　　 D．7
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，因为Sm－1＝16，Sm＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，
所以am＝Sm－Sm－1＝25－16＝9＝1＋(m－1)d，m＋d＝25，联立解得m＝5，d＝2.
3．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为(　B　)
A．　　 B．
C．10　　 D．20
[解析]　由等差数列{an}可得＝a1＋d＝n＋为等差数列，∵－＝100，×2 022＋a1－d－＝100，
∴10d＝1，解得d＝.
4．(多选题)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，函数f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数，数列{f(an)}的前n项和为Sn，则以下说法正确的是(　BD　)
A．若数列{an}为递增数列，则对一切n∈N＋，Sn>0
B．若对一切n∈N＋，Sn>0，则数列{an}为递增数列
C．若存在m∈N＋，使得Sm＝0，则一定存在k∈N＋，使得ak＝0
D．若存在k∈N＋，使得ak＝0，则存在m∈N＋，使得Sm＝0
[解析]　对于选项A，取an＝n－5，f(x)＝x，则S1＝f(a1)＝f(－4)＝－4<0，故A错误．
对于选项B，对一切n∈N＋，Sn>0，则f(a1)>0，又f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数，所以a1>0.若{an}不单调递增，设ak>0，ak＋1≤0，则S2k＋1＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(ak)＋f(ak＋1)＋…＋f(a2k＋1)，a1＋a2k＋1＝a2＋a2k＝…＝2ak＋1≤0，所以a1≤－a2k＋1，a2≤－a2k，…，ak≤－ak＋2，
则f(a1)≤f(－a2k＋1)，f(a2)≤f(－a2k)，…，f(ak)≤f(－ak＋2)，又f(x)为奇函数，则
S2k＋1＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(ak)＋f(ak＋1)＋…＋f(a2k＋1)≤0，与选项条件矛盾，所以{an}为递增数列，故B正确．
对于选项C，取an＝2n－3，则a1＝－1，a2＝1，令f(x)＝x，所以f(a1)＋f(a2)＝0，但是an＝2n－3≠0，故C错误．
对于选项D，因为ak＝0，所以a1＋a2k－1＝a2＋a2k－2＝…＝2ak＝0，所以a1＝－a2k－1，a2＝－a2k－2，…，ak－1＝－ak＋1，
则f(a1)＝f(－a2k－1)，f(a2)＝f(－a2k－2)，…，f(ak－1)＝f(－ak＋1)，又f(x)为奇函数，
则S2k－1＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(ak)＋f(ak＋1)＋…＋f(a2k－1)＝0，则存在m∈N＋，使得Sm＝0，故D正确．
二、填空题
5．(2022·宁大附中高三模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为____．
[解析]　∵an＋1＝an＋n＋1，∴an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴＝.
∵－＝－＝，
则数列为等差数列．
因此，数列的前n项和为＝.
6．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝__211__．
[解析]　∵数列{an}中，当整数n>1时，
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，
⇔Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2⇔an＋1－an＝2(n>1)．
∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211.
三、解答题
7．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
[解析]　(1)∵a1＝1，S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝－，
∴整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝a1×××…××
＝1×××…××＝，
显然对于n＝1也成立，
∴{an}的通项公式an＝.
(2)＝＝2，
∴＋＋…＋＝2＋＋…＋＝2<2.
8．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Hn.
[解析]　(1)因为an＋2－2an＋1＋an＝0.
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
所以{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
故an＝10－2n.
(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
设Sn＝a1＋a2＋…＋an.则Sn＝＝9n－n2，
所以当n>5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
所以Hn＝