高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课时练习

第一章　1.2

A组·素养自测

一、选择题

1．(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题正确的是( ACD )

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点不共面

D．O，A，B，C四点中任意三点不共线

[解析]　选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底，故选ACD．

2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则不能与a，b构成空间的一个基底的是( C )

A．  B．

C．  D．与

[解析]　∵a＝＋＋，b＝＋－，

∴＝(a－b)，∴与向量a，b共面，

∴，a，b不能构成空间的一个基底．

3．(2023·咸阳高二检测)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，a＝e1＋e2，b＝e1－e2，c＝e3，p＝3e1＋2e2＋e3，若p＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( D )

A．，，1  B．，1，

C．1，，  D．，，1

[解析]　因为a＝e1＋e2，b＝e1－e2，c＝e3，p＝xa＋yb＋zc，所以p＝x(e1＋e2)＋y(e1－e2)＋ze3＝(x＋y)e1＋(x－y)e2＋ze3，因为p＝3e1＋2e2＋e3，

所以解得

4．已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m的值为( C )

A．－1  B．2

C．－2  D．－3

[解析]　∵O为空间任意一点，＝m＋＋，∴＝m＋2＋.∵A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，∴m＋2＋1＝1，解得m＝－2.

5．如图，在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上，且满足＝2，＝，点G是线段MN的中点，用向量，，表示向量应为( A )

A．＝＋＋

B．＝－＋

C．＝－－

D．＝＋－

[解析]　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＋(－)＋(－)＝＋＋.

二、填空题

6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于的表达式中：

①＋＋；

②＋＋；

③＋＋；

④(＋)＋.

正确的个数有_3__个．

[解析]　＋＋＝＋＝＋≠，②不正确；(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝，④正确；①③显然正确．

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝_1__，y＝_－1__.

[解析]　因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，

于是有解得

8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 　.

[解析]　如图所示，

设＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，

因为＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c，

|cos〈，〉|＝

＝

＝

＝＝＝.

三、解答题

9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．

[解析]　假设，，共面，

由向量共面的充要条件知存在实数x，y，

使＝x＋y成立．所以＝e1＋2e2－e3

＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)

＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋e3.

得解得

故，，共面，不可以构成空间的一个基底．

10.如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，求证：GH∥OA．

[解析]　设＝a，＝b，＝C．

因为H为△OBC的重心，D为BC的中点，

所以＝(＋)，＝，

从而＝＝×(＋)＝(b＋c)．

又＝＋＝＋，＝－，

所以＝＋×(＋)－

＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．

因为＝－，

所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a＝

－，所以∥，即GH∥OA．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·的值为( C )

A．－1　　  B．0

C．1　　  D．2

[解析]　 AO1＝AA1＋＝AA1＋(＋)＝AA1＋(＋)，而＝＋，则AO1·＝(2＋2)＝1.

2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( A )

A．－a＋b＋c

B．a＋b＋c

C．－a－b＋c

D．a－b＋c

[解析]　取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示．

∵M为A1C1的中点，＝a，＝b，＝c，∴＝＝c，＝(＋)＝(－＋)＝－a＋b，∴＝＋＝＋c＝－a＋b＋C．

3.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( A )

A．1  B．2

C．4  D．8

[解析]　由图可知，AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi(i＝1,2，…，8)，则·＝||||·cos∠BAPi＝||·||＝1(i＝1,2，…，8)．

4．(多选)已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则( BC )

A．＝a＋b－c

B．＝－a＋b＋c

C．＝a－c

D．＝a＋b－c

[解析]　＝(＋)＝c＋b－a；＝－＝(＋)－＝b＋c－a；＝＋＝－c＋a；＝＋＝a－B．

二、填空题

5．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝_3__.

[解析]　由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3，

所以故有α＋β＋γ＝3.

6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋υe3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝_0__.

[解析]　∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．又∵λe1＋μe2＋υe3＝0，∴λ＝μ＝υ＝0，∴λ2＋μ2＋υ2＝0.

7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6.则线段PC的长为 7　.

[解析]　由题意知〈，〉＝120°.

⊥，⊥，则＝＋＋，所以||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋16＋9＋2×3×4×＝49，所以||＝7.

三、解答题

8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简：－－；

(2)设E是棱DD1上的点且＝ ，若＝x＋y＋z ，试求x，y，z的值．

[解析]　(1)因为＋＝，

所以－－＝－(＋)

＝－＝－＝.

(2)因为＝＋＝ ＋

＝ ＋(＋)＝＋＋

＝－－ ，

所以x＝，y＝－，z＝－.

9．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[解析]　设＝a，＝b，＝c，

根据题意，得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)易知＝＋＝b＋c，

连接CD，则＝＋＋＝－a－c＋(a＋b)＝－c＋b－A．

∴·＝·＝－c2＋b2＝0.

∴⊥，即CE⊥A′D．

(2)易知＝＋＝－a＋c，∴||＝|a|，

又由(1)知，＝b＋c，∴||＝|a|，

∴·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝＝.

故异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.