高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理习题，共6页。试卷主要包含了下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
第一章　1.2　A级——基础过关练1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)A．2a B．2bC．2a＋3b D．2a＋5c【答案】D【解析】由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有2a＋5c与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，q能构成一组基底．故选D．2．如图，设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知＝＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，从而x＝y＝z＝．3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)A．－　 B．－　C．　 D．【答案】D【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19．|a＋b|＝＝＝＝7，因此cos〈a，a＋b〉＝＝＝．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　)A．a＋b－c B．a＋b＋cC．a－b＋c D．a＋b＋c【答案】D【解析】＝－＝＋－，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，＝，所以＝＋－＝＋－(－)＝＋(－)－(－)＝＋＋＝a＋b＋c．5．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为(　　)A．α＝，β＝－1，γ＝－ B．α＝－1，β＝，γ＝－C．α＝－，β＝，γ＝－1 D．α＝－1，β＝－，γ＝【答案】A【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3．又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝(　　)A．a－b＋c B．a＋b－cC．－a＋b＋c D．a＋b＋c【答案】A【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c．故选A．7．(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是(　　)A．空间向量的一个基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3一定都是非零向量B．在空间向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝λ3＝0C．若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2方向上的投影向量是－e2D．空间的基底是唯一的【答案】ABC【解析】选项A，作为基底的向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e1，e2，e3一定都是非零向量，故A正确；选项B，a＝0＝0·e1＋0·e2＋0·e3，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1＝λ2＝λ3＝0，故B正确；选项C，e1在e2方向上的投影向量为e2＝－e2，故C正确；选项D，空间中任何不共面的三个向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误．故选ABC．8．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________(用a，b，c表示)．【答案】－a＋b＋c【解析】＝－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c．9．已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________．【答案】3a＋3b－5c【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c．10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量，，是否可以组成一个基底，并说明理由．解：，，不可以组成一个基底．理由如下：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM．因为ABCD是平行四边形，所以O是AC，BD的中点．在△BDM中，＝(＋)，在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则＝，即＝＋，即与，共面．所以，，不可以组成一个基底．B级——能力提升练11．(多选)(2021年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是(　　)A．＝＋＋ B．＝＋C．＝＋＋ D．6＝＋2＋3【答案】AC【解析】对于选项ACD，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，所以选项A中，，，不共面，可以构成基底，选项C中，，，不共面，可以构成基底；选项D中，因为6＝＋2＋3，所以＝＋＋，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为＝＋，得，，共面，无法构成基底，故选项B错误．故选AC．12．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12，14，10) B．(14，12，10)C．(10，12，14) D．(12，10，14)【答案】A【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．故选A．13．若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．【答案】x＝y＝z＝0【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0．14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________．【答案】　【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋．15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．(2)＝(＋)＝＋＝＋(－)＝－＋－＝－c＋a－b，所以x＝，y＝－，z＝－1．