人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课时训练

三　空间向量基本定理

　(15分钟　30分)

1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)

A．－1     B．0    C．1     D．2

【解析】选C.＝＝＋＝＋(＋)，而＝＋，

则·＝(2＋2)＝1.

2．若{e1，e2，e3}是空间向量的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　)

A．，－1，－      B．－1，，－

C．，1，       D．－，1，

【解析】选A.由题意得，d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得解得

3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．

【解析】＝＋＋，

所以·＝·(＋＋)＝||2＝1，

所以cos 〈，〉＝＝，

所以异面直线a，b所成的角是60°.

答案：60°

4．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________．

【解析】若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，所以a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.

答案：0　0　0

5．如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，，，.

【解析】＝＝－＝－(＋)＝－a－b＋c；

＝－＝(＋)－(＋)

＝－－＋＝－a－b＋c；

＝－＝(＋)－

＝－a＋b＋c；

＝＝＝a.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)

A．，，共线      B．，共线

C．，共线       D．O，A，B，C四点共面

【解析】选D.由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．

2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 (　　)

A．－a＋b＋c       B．a＋b＋c

C．a－b＋c       D．－a－b＋c

【解析】选A.＝＋

＝＋＝＋(＋)

＝＋＝c＋(－a＋b)

＝－a＋b＋c.

3．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

【解析】选C.由题意得·＝·＝0，

所以·＝(＋＋)·＝·＋

||2＋·＝||2＝1，所以cos 〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.

4．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)

A．－，，     B．，－，

C．－，，－    D．－，－，

【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE，

则＝－＝－(－)

＝－＝－

＝－－(－＋＋)＝－－＋，又＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列说法正确的是(　　)

A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等

【解析】选AC.A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错．

6．已知在空间四面体O­ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则(　　)

A．＝a＋b－c

B．＝－a＋b＋c

C．＝a－c

D．＝a＋b－c

【解析】选BC.＝(＋)＝c＋b－a；＝－＝(＋)－＝b＋c－a；

＝＋＝－c＋a；＝＋＝a－b.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量＋的结果为________．

【解析】如图，

＋＝(＋)＋

＝＋＝b＋(a＋b)＋(a＋c)

＝a＋b＋c.

答案：a＋b＋c

8．如图，直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

则CE与A′D的位置关系是________；异面直线CE与AC′所成角的余弦值是________．

【解析】设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，所以＝b＋c，＝－c＋b－a.所以·＝－c2＋b2＝0.所以⊥，即CE与

A′D垂直；因为＝－a＋c，所以||＝|a|.又||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos 〈，〉＝＝，

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

答案：垂直　

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．如图，三棱锥P­ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．

【解析】连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令{，，}为空间的一个基底，

＝＝(＋)＝＋×＝＋×＝＋(－)＋(－)＝＋＋.

连接DM，因为点D，E，F，M共面， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，

所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．

10．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；

(2)求〈，〉．

【解析】设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，

(1)因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，

所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)

＝(18a·b－9|a|2)

＝＝0，

所以⊥，即AO⊥BO.

同理，AO⊥CO，BO⊥CO.

所以AO，BO，CO两两垂直．

(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c

＝(－2a－2b＋c)，

所以||＝＝.

又||＝＝，

·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，

所以cos 〈，〉＝＝.

又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.

【创新迁移】

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为________．

【解析】因为＝－2，

所以－＝－2(－)，

所以b－a＝－2(－c)，所以＝a－b＋c.

答案：a－b＋c

2．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.当的值等于多少时，能使A1C⊥平面C1BD?

【解析】不妨设＝x，CC1＝1，

由A1C⊥平面C1BD，得A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，

＝＋，＝＝＋＋，

由·＝0，得(＋＋)·(＋)＝·＋·＝0，

注意到·＋·＝－，

可得方程1－x2＋＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)，

因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.