北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理同步练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章　§3　3.1　 A　组·素养自测一、选择题1．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则(　B　)A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面[解析]　由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，∴，，共面．又三个向量的基线有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　D　)A．1　　 B．0　　C．3　　 D．[解析]　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，∴x＝.3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　A　)A．A，B，D　　 B．A，B，CC．B，C，D　　 D．A，C，D[解析]　因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．4．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若，共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中错误命题的个数是(　C　)A．1　　 B．2　　C．3　　 D．4[解析]　显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　C　)A．在平面BAD1内　　 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内　　 D．在平面AB1C1内[解析]　本题主要考查四点共面的判断方法．由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C．6．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则结论正确的有(　ACD　)A．P∈直线AB　　 B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面　　 D．P，A，B三点共线[解析]　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面．二、填空题7．已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，点N在CM上，且＝，用基底{a，b，c}表示，则＝_a＋b＋c__.[解析]　＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋×(＋)＝(a＋b)＋(c－a＋c－b)＝a＋b＋c.8．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝_－4__.[解析]　∵n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，∴＝＝－(y＋2)，∴解得x＝－2，y＝－2，∴x＋y＝－4.三、解答题9．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？[解析]　假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c.∵a，b，c不共面，∴解得即存在实数λ＝，μ＝，使p＝λq＋μr，∴p，q，r共面．10．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.[解析]　(1)＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，∴A，E，C1，F四点共面．(2)＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.B　组·素养提升一、选择题1．若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则(　D　)A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[解析]　由共面向量定理知选D．2．给出下列两个命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是(　B　)A．仅①　　 B．仅②C．①②　　 D．都不正确[解析]　可判定①不正确，②正确．故选B．3．G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋＝(　A　)A．4　　 B．3　　C．2　　 D．[解析]　＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝4＋(＋)＋(＋)∵四边形ABCD是正方形，G是它的中心，∴＋＝＋＝0，∴原式＝4，∴选A．4．如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　C　)A．　　 B．　　C．1　　 D．2[解析]　方法1：连接AE，∵E，G分别是CD，BE的中点，∴＝＋，∴＝＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＋y＋z＝＋＋＝1.方法2：因为B，C，D，G四点共面，由共面向量定理的推论可知x＋y＋z＝1.二、填空题5．给出下列几个命题：①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l.其中正确的命题是_①②③__.[解析]　①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为＋＝＋＝＝2a，所以与l平行，又B在l上，所以C∈l.6．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝_－1__.[解析]　＝－2x－3y－4z，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.三、解答题7．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D四点共面．[证明]　令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋υ (3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3υ) e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴易知是其中一组解，则－5＋＋＝0.∴A、B、C、D共面．另证：观察易得＋＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5.∴＝＋.由共面向量知，，，共面．又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．8．在四面体ABCD中，P在面ABC内，Q在面BCD内，且满足＝x＋y，＝s＋t＋u，若＝，试判断线段AQ与DP的位置关系．[解析]　由＝，则＝.不妨假设＝＝λ，则＝λ＋u，所以A，P，D，Q四点共面．又AQ与DP不平行，所以线段AQ与线段DP相交．